Uma partícula de massa é confinada em uma caixa unidimensional com dimensões e é conhecida por estar no segundo estado excitado . De repente, a largura da caixa é dobrada , sem perturbar o estado da partícula. Se uma medição da energia for encontrada, encontre as probabilidades de encontrarmos o sistema no estado fundamental e no primeiro estado excitado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com massa presa numa caixa unidimensional que vai de até . Ela está no segundo estado excitado, que corresponde a . De repente, a largura da caixa dobra, passando a ser , mas sem mexer no estado da partícula. A pergunta é: se a gente medir a energia dessa partícula depois que a caixa dobrou, quais são as probabilidades dela estar no estado fundamental () e no primeiro estado excitado () na nova caixa? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre os estados quânticos da partícula na caixa e como eles se adaptam quando a caixa muda de tamanho.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como são os estados de energia de uma partícula numa caixa unidimensional. Os estados permitidos são quantizados e dados pela função de onda:
onde representa os diferentes estados quânticos. A energia associada a cada estado é:
Agora, quando a caixa dobra de tamanho, a nova largura é . Os novos estados de energia na caixa expandida serão:
com energias:
Passo 3
O próximo passo é entender que, quando a caixa muda de tamanho de forma abrupta, a função de onda da partícula não tem tempo para se adaptar instantaneamente. Isso significa que a função de onda original () precisa ser expressa como uma combinação dos novos estados da caixa expandida ().
Matematicamente, isso é feito calculando os coeficientes de expansão , que representam a sobreposição entre o estado original e os novos estados:
A probabilidade de encontrar a partícula no estado depois da expansão da caixa é dada por .
Passo 4
Vamos calcular esses coeficientes especificamente para e , que correspondem ao estado fundamental e ao primeiro estado excitado na nova caixa.
Primeiro, substituímos as funções:
Note que a integral vai de a porque além de a partícula estava confinada originalmente na caixa de tamanho .
Passo 5
Vamos resolver a integral usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na integral:
Integrando cada termo separadamente, obtemos expressões em termos de senos.
Passo 6
Após resolver as integrais, os coeficientes para e são encontrados. Vamos calcular cada um:
Para :
Simplificando:
Como e :
A probabilidade é .
Para :
Simplificando:
Como e :
Então, a probabilidade de estar no primeiro estado excitado é zero.
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula no estado fundamental () é aproximadamente igual a ou . Já a probabilidade de encontrá-la no primeiro estado excitado () é .