Uma partícula de massa é confinada em uma caixa unidimensional com dimensões e é conhecida por estar no segundo estado excitado . De repente, a largura da caixa é dobrada , sem perturbar o estado da partícula. Se uma medição da energia for encontrada, encontre as probabilidades de encontrarmos o sistema no estado fundamental e no primeiro estado excitado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com massa presa numa caixa unidimensional que vai de até . Ela está no segundo estado excitado, que corresponde a . De repente, a largura da caixa dobra, passando a ser , mas sem mexer no estado da partícula. A pergunta é: se a gente medir a energia dessa partícula depois que a caixa dobrou, quais são as probabilidades dela estar no estado fundamental ( ) e no primeiro estado excitado ( ) na nova caixa? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre os estados quânticos da partícula na caixa e como eles se adaptam quando a caixa muda de tamanho.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como são os estados de energia de uma partícula numa caixa unidimensional. Os estados permitidos são quantizados e dados pela função de onda:
onde representa os diferentes estados quânticos. A energia associada a cada estado é:
Agora, quando a caixa dobra de tamanho, a nova largura é . Os novos estados de energia na caixa expandida serão:
com energias:

Passo 3

O próximo passo é entender que, quando a caixa muda de tamanho de forma abrupta, a função de onda da partícula não tem tempo para se adaptar instantaneamente. Isso significa que a função de onda original ( ) precisa ser expressa como uma combinação dos novos estados da caixa expandida ( ).
Matematicamente, isso é feito calculando os coeficientes de expansão , que representam a sobreposição entre o estado original e os novos estados:
A probabilidade de encontrar a partícula no estado depois da expansão da caixa é dada por .

Passo 4

Vamos calcular esses coeficientes especificamente para e , que correspondem ao estado fundamental e ao primeiro estado excitado na nova caixa.
Primeiro, substituímos as funções:
Note que a integral vai de a porque além de a partícula estava confinada originalmente na caixa de tamanho .

Passo 5

Vamos resolver a integral usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na integral:
Integrando cada termo separadamente, obtemos expressões em termos de senos.

Passo 6

Após resolver as integrais, os coeficientes para e são encontrados. Vamos calcular cada um:
Para :
Simplificando:
Como e :
A probabilidade é .
Para :
Simplificando:
Como e :
Então, a probabilidade de estar no primeiro estado excitado é zero.

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula no estado fundamental ( ) é aproximadamente igual a ou . Já a probabilidade de encontrá-la no primeiro estado excitado ( ) é .

Exercícios relacionados

Qual é a diferença fundamental entre a energia de uma partícula clássica ligada e a energia de uma partícula da mecânica quântica ligada?
Se , como você pode encontrar os componentes da função de onda?
Anteriormente, consideramos o seguinte estado para uma partícula presa em uma caixa unidimensional:
Qual é a energia média para este sistema?