Uma partícula de massa m é confinada em uma caixa unidimensional com dimensões 0 <= x <= a e é conhecida por estar no segundo estado excitado (n=3). De repente, a largura da caixa é dobrada (a 2 a), sem perturbar o estado da partícula. Se uma medição da energia for encontrada, encontre as probabilidades de encontrarmos o sistema no estado fundamental e no primeiro estado excitado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com massa presa numa caixa unidimensional que vai de até . Ela está no segundo estado excitado, que corresponde a . De repente, a largura da caixa dobra, passando a ser , mas sem mexer no estado da partícula. A pergunta é: se a gente medir a energia dessa partícula depois que a caixa dobrou, quais são as probabilidades dela estar no estado fundamental ( ) e no primeiro estado excitado ( ) na nova caixa? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre os estados quânticos da partícula na caixa e como eles se adaptam quando a caixa muda de tamanho.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como são os estados de energia de uma partícula numa caixa unidimensional. Os estados permitidos são quantizados e dados pela função de onda:
psin(x) = raiz2a sin(npi xa)
onde En = n^2 pi^2 hbar^22ma^2 representa os diferentes estados quânticos. A energia associada a cada estado é:
phim(x) = raiz1a sin(mpi x2a)
Agora, quando a caixa dobra de tamanho, a nova largura é E'm = m^2 pi^2 hbar^28ma^2 . Os novos estados de energia na caixa expandida serão:
com energias:

Passo 3

O próximo passo é entender que, quando a caixa muda de tamanho de forma abrupta, a função de onda da partícula não tem tempo para se adaptar instantaneamente. Isso significa que a função de onda original ( cm = integral0^2a phim^*(x) psi3(x) , dx ) precisa ser expressa como uma combinação dos novos estados da caixa expandida ( ).
Matematicamente, isso é feito calculando os coeficientes de expansão , que representam a sobreposição entre o estado original e os novos estados:
A probabilidade de encontrar a partícula no estado depois da expansão da caixa é dada por .

Passo 4

Vamos calcular esses coeficientes cm = raiz1a raiz2a integral0^a sin(mpi x2a) sin(3pi xa) , dx especificamente para e , que correspondem ao estado fundamental e ao primeiro estado excitado na nova caixa.
Primeiro, substituímos as funções:
Note que a integral vai de a porque além de a partícula estava confinada originalmente na caixa de tamanho .

Passo 5

Vamos resolver a integral usando a identidade trigonométrica:
sin A sin B = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)]
Aplicando isso na integral:
cm = raiz2a cdot 12 [ integral0^a cos((m/2 - 3)pi xa) dx - integral0^a cos((m/2 + 3)pi xa) dx ]
Integrando cada termo separadamente, obtemos expressões em termos de senos.

Passo 6

Após resolver as integrais, os coeficientes c1 = raiz2a cdot 12 [ sin((1/2 - 3)pi aa)(1/2 - 3)pia - sin((1/2 + 3)pi aa)(1/2 + 3)pia ] para c1 = raiz22 [ sin(-5pi2)-5pi2 - sin(7pi2)7pi2 ] e c1 = raiz22 [ 1-5pi2 - -17pi2 ] = raiz22 ( -25pi + 27pi ) = raiz22 cdot -14 + 1035pi = raiz22 cdot -435pi = -2raiz235pi são encontrados. Vamos calcular cada um:
Para c2 = raiz2a cdot 12 [ sin((2/2 - 3)pi aa)(2/2 - 3)pia - sin((2/2 + 3)pi aa)(2/2 + 3)pia ] :
c2 = raiz22 [ sin(-pi)-pi - sin(4pi)4pi ]
Simplificando:
c2 = 0
Como e :
A probabilidade é .
Para :
Simplificando:
Como e :
Então, a probabilidade de estar no primeiro estado excitado é zero.

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula no estado fundamental ( ) é aproximadamente igual a ou . Já a probabilidade de encontrá-la no primeiro estado excitado ( ) é .

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