O operador de momento p é hermitiano?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é: “O operador de momento é hermitiano?” Isso está ligado à matéria de Mecânica Quântica, especificamente sobre propriedades dos operadores. Para responder, vamos precisar entender o que significa um operador ser hermitiano e analisar o operador de momento sob essa ótica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador hermitiano. Um operador lang<= psi | O phi rang<= = lang<= O psi | phi rang<= é hermitiano se ele for igual ao seu adjunto, ou seja, . Em termos matemáticos, isso significa que para todas as funções e no domínio do operador, temos:
Essa propriedade garante que os valores observáveis, que são os autovalores dos operadores hermitianos, sejam sempre reais.

Passo 3

Agora, vamos considerar o operador de momento p = -ihbar ddx . Na representação de operadores na mecânica quântica, o operador de momento é dado por:
Para verificar se é hermitiano, precisamos checar se .

Passo 4

Calculemos lang<= psi | p phi rang<= = -ihbar integral-infty^infty psi^*(x) dphidx , dx e -ihbar [ psi^*(x)phi(x) |-infty^infty - integral-infty^infty dpsi^*dx phi(x) , dx ] . Usando a expressão do operador de momento:
ihbar integral-infty^infty dpsi^*dx phi(x) , dx = lang<= p psi | phi rang<=
Integrando por partes, temos:
lang<= psi | p phi rang<= = lang<= p psi | phi rang<=
Assumindo que as funções e desaparecem no infinito, o termo de fronteira é zero, restando:
Isso mostra que:
Portanto, .

Resposta

Sim, o operador de momento é hermitiano.

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