O operador de momento é hermitiano?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é: “O operador de momento é hermitiano?” Isso está ligado à matéria de Mecânica Quântica, especificamente sobre propriedades dos operadores. Para responder, vamos precisar entender o que significa um operador ser hermitiano e analisar o operador de momento sob essa ótica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador hermitiano. Um operador é hermitiano se ele for igual ao seu adjunto, ou seja, . Em termos matemáticos, isso significa que para todas as funções e no domínio do operador, temos:
Essa propriedade garante que os valores observáveis, que são os autovalores dos operadores hermitianos, sejam sempre reais.

Passo 3

Agora, vamos considerar o operador de momento . Na representação de operadores na mecânica quântica, o operador de momento é dado por:
Para verificar se é hermitiano, precisamos checar se .

Passo 4

Calculemos e . Usando a expressão do operador de momento:
Integrando por partes, temos:
Assumindo que as funções e desaparecem no infinito, o termo de fronteira é zero, restando:
Isso mostra que:
Portanto, .

Resposta

Sim, o operador de momento é hermitiano.

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Anteriormente, consideramos o seguinte estado para uma partícula presa em uma caixa unidimensional:
Qual é a energia média para este sistema?
Suponha que uma partícula de massa em uma caixa unidimensional seja descrita pela função de onda
encontre a corrente de probabilidade para esta função de onda.
Seja a função de onda dada por
a) Mostre que se é normalizada, então .
b) Mostre que a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo é .