Uma partícula carregada com razão carga massa q / m, na presença de um campo magnético, uniforme e constante no tempo e de intensidade B, descreve uma trajetória na forma de uma hélice com raio R e passo P. Determine o módulo da velocidade da particula em função dessas quatro grandezas mencionadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula carregada com razão carga massa que está se movendo em um campo magnético uniforme . Devido a esse campo, a partícula traça uma trajetória em forma de hélice com raio e passo . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade dessa partícula em função dessas quatro grandezas: , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre movimento em campos magnéticos e um pouco de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma partícula carregada se move em um campo magnético, ela experimenta uma força chamada força de Lorentz. Essa força é perpendicular tanto à velocidade da partícula quanto ao campo magnético e faz com que a partícula descreva uma trajetória circular caso sua velocidade seja perpendicular ao campo. Mas, no nosso caso, a velocidade tem componentes tanto paralelas quanto perpendiculares ao campo, resultando em uma trajetória helicoidal (hélice).
A força magnética é dada por:
F = q v times B
Como a força é responsável pelo movimento circular, podemos relacionar isso com a força centrípeta.

Passo 3

Vamos separar a velocidade da partícula em duas componentes:
  • : componente perpendicular ao campo magnético.
  • : componente paralela ao campo magnético.
A componente perpendicular é responsável pelo movimento circular com raio , e a componente paralela é responsável pelo movimento retilíneo ao longo do campo, que cria o deslocamento vertical da hélice, conhecido como passo .

Passo 4

Para o movimento circular, a força centrípeta é fornecida pela força magnética:
m vperp^2R = q vperp B
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por m vperpR = q B :
vperp = q B Rm
Isolando :

Passo 5

Agora, vamos analisar o movimento ao longo do campo magnético. O passo P = vparal<=l T da hélice é a distância que a partícula percorre paralelamente ao campo magnético em uma volta completa. Uma volta completa no movimento circular leva um período T = 2piomega , que é o tempo para dar uma volta.
Sabemos que:
omega = vperpR = q Bm
E o período T = 2pi mq B está relacionado com a frequência angular P = vparal<=l cdot 2pi mq B :
vparal<=l = P q B2pi m
Sabemos também que para o movimento circular, é:
Substituindo em :
Então, substituindo na equação do passo:
Isolando :

Passo 6

Agora, temos as duas componentes da velocidade:
vperp = q B Rm
vparal<=l = P q B2pi m
A velocidade total v = raizvperp^2 + vparal<=l^2 é a combinação dessas duas componentes, já que elas são perpendiculares entre si. Portanto:
v = raiz(q B Rm)^2 + (P q B2pi m)^2
Substituindo as expressões de v = q Bm raizR^2 + (P2pi)^2 e :
Fatorando :

Resposta

A velocidade da partícula é dada por:
v = q Bm raizR^2 + (P2pi)^2

Exercícios relacionados