Uma partícula está confinada na região 0 tal que seu estado inicial é dado por
Psi(x, 0)=A x(a-x)
Qual é o valor esperado da posição dessa partícula?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula que está confinada na região entre e e seu estado inicial é dado por . O que precisamos encontrar aqui é o valor esperado da posição dessa partícula, que é basicamente a média de onde a partícula provavelmente estará nessa região. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e valore esperado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o valor esperado da posição. Em mecânica quântica, o valor esperado lang<= x rang<= = integral0^a x |Psi(x, 0)|^2 dx é calculado usando a fórmula:
Aqui, representa a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em uma posição específica.

Passo 3

Antes de tudo, precisamos determinar o valor da constante de normalização integral0^a |Psi(x, 0)|^2 dx = 1 . Para que integral0^a A^2 x^2 (a - x)^2 dx = 1 seja uma função de onda válida, a integral de de a deve ser igual a :
Substituindo :

Passo 4

Vamos resolver essa integral para encontrar (a - x)^2 = a^2 - 2a x + x^2 . Expandindo x^2(a - x)^2 = x^2(a^2 - 2a x + x^2) = a^2 x^2 - 2a x^3 + x^4 :
A^2 [ a^2 integral0^a x^2 dx - 2a integral0^a x^3 dx + integral0^a x^4 dx ] = 1
Então,
integral0^a x^2 dx = a^33, integral0^a x^3 dx = a^44, integral0^a x^4 dx = a^55
Agora, integramos termo a termo:
A^2 [ a^2 cdot a^33 - 2a cdot a^44 + a^55 ] = 1
Calculando as integrais:
A^2 ( a^53 - a^52 + a^55 ) = 1
Substituindo de volta:
A^2 a^5 ( 1030 - 1530 + 630 ) = 1
Simplificando:
A^2 a^5 cdot 130 = 1 Rightarrow A^2 = 30a^5
A = raiz30a^5 = raiz30a^5/2
Então,

Passo 5

Agora que temos lang<= x rang<= = integral0^a x |Psi(x, 0)|^2 dx = integral0^a x cdot A^2 x^2 (a - x)^2 dx = A^2 integral0^a x^3 (a - x)^2 dx , vamos calcular o valor esperado x^3 (a - x)^2 = x^3(a^2 - 2a x + x^2) = a^2 x^3 - 2a x^4 + x^5 :
lang<= x rang<= = A^2 [ a^2 integral0^a x^3 dx - 2a integral0^a x^4 dx + integral0^a x^5 dx ]
Usando a mesma expansão que fizemos antes:
integral0^a x^3 dx = a^44, integral0^a x^4 dx = a^55, integral0^a x^5 dx = a^66
Então,
lang<= x rang<= = A^2 ( a^2 cdot a^44 - 2a cdot a^55 + a^66 ) = A^2 ( a^64 - 2a^65 + a^66 )
Calculando as integrais:
Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
a^64 - 2a^65 + a^66 = a^6 ( 1560 - 2460 + 1060 ) = a^6 cdot 160
Então,
lang<= x rang<= = A^2 cdot a^660
Substituindo lang<= x rang<= = 30a^5 cdot a^660 = 30a60 = a2 :

Resposta

O valor esperado da posição da partícula é .

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