Uma partícula está confinada na região
tal que seu estado inicial é dado por
Qual é o valor esperado da posição dessa partícula?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula que está confinada na região entre
e
e seu estado inicial é dado por
. O que precisamos encontrar aqui é o valor esperado da posição dessa partícula, que é basicamente a média de onde a partícula provavelmente estará nessa região. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e valore esperado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o valor esperado da posição. Em mecânica quântica, o valor esperado
é calculado usando a fórmula:
Aqui,
representa a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em uma posição
específica.
Passo 3
Antes de tudo, precisamos determinar o valor da constante de normalização
. Para que
seja uma função de onda válida, a integral de
de
a
deve ser igual a
:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos resolver essa integral para encontrar
. Expandindo
:
Então,
Agora, integramos termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Então,
Passo 5
Agora que temos
, vamos calcular o valor esperado
:
Usando a mesma expansão que fizemos antes:
Então,
Calculando as integrais:
Substituindo:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
Então,
Substituindo
:
Resposta
O valor esperado da posição da partícula é
.