Uma partícula está confinada na região
tal que seu estado inicial é dado por
Qual é o valor esperado da posição dessa partícula?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula que está confinada na região entre
e
e seu estado inicial é dado por
. O que precisamos encontrar aqui é o valor esperado da posição dessa partícula, que é basicamente a média de onde a partícula provavelmente estará nessa região. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e valore esperado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o valor esperado da posição. Em mecânica quântica, o valor esperado
é calculado usando a fórmula:
Aqui,
representa a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em uma posição
específica.
Passo 3
Antes de tudo, precisamos determinar o valor da constante de normalização
. Para que
seja uma função de onda válida, a integral de
de
a
deve ser igual a
:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos resolver essa integral para encontrar
. Expandindo
:
Então,
Agora, integramos termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Então,
Passo 5
Agora que temos
, vamos calcular o valor esperado
:
Usando a mesma expansão que fizemos antes:
Então,
Calculando as integrais:
Substituindo:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
Então,
Substituindo
:
Resposta
O valor esperado da posição da partícula é
.
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Explique os fenômenos da difração e da interferência de partículas massivas (elétrons, nêutrons, átomos ou moléculas) com base nos postulados da interpretação probabilística da função de onda.
Uma partícula está confinada na região
tal que seu estado inicial é dado por
Normalize a função de onda.
Encontre o comprimento de onda para uma partícula para as condições dadas:
c) se o comprimento de onda for de , qual é a energia e a velocidade de um feixe de elétrons e de um feixe de nêutrons.
c) se o comprimento de onda for de
Um elétron e um fóton têm, cada um, um comprimento de onda de 3,0 Angstrom (
). Cálcule as energias e os momentos de cada um e interprete o resultado.