Uma partícula descreve uma trajetória contida num plano, sendo o vetor posição da partícula dado por: r=(2 t+sin t) i+(t+cos t) k, onde as constantes são dadas no sistema SI. Determine: © o módulo da aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de movimento de partículas usando Mecânica. O enunciado nos dá a posição da partícula em função do tempo: . Queremos encontrar o módulo da aceleração dessa partícula. Para isso, vamos precisar derivar a posição para achar a velocidade e depois derivar a velocidade para achar a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a primeira derivada do vetor posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de v = drdt = ddt(2t + sin t)i + ddt(t + cos t)k :
v = (2 + cos t)i + (1 - sin t)k
Calculando:

Passo 3

Agora, para encontrar a aceleração, que é a segunda derivada da posição ou a primeira derivada da velocidade, vamos derivar novamente cada componente de a = dvdt = ddt(2 + cos t)i + ddt(1 - sin t)k :
a = (-sin t)i + (-cos t)k
Calculando:

Passo 4

Agora que temos o vetor aceleração, vamos encontrar o módulo da aceleração, que é basicamente o tamanho desse vetor. Para isso, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
|a| = raizax^2 + az^2
Onde |a| = raiz(-sin t)^2 + (-cos t)^2 = raizsin^2 t + cos^2 t e .
Substituindo:

Passo 5

Lembrando da identidade trigonométrica:
sin^2 t + cos^2 t = 1
Então:
|a| = raiz1 = 1

Resposta

O módulo da aceleração da partícula é .

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