Uma partícula descreve uma trajetória contida num plano, sendo o vetor posição da partícula dado por: r=(2 t+sin t) i+(t+cos t) k, onde as constantes são dadas no sistema SI. Determine: (b) o vetor aceleração;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido na questão. Temos uma partícula que se move em um plano, e a posição dela é dada por um vetor função do tempo: r = (2t + sin t) i + (t + cos t) k. O conteúdo que vamos usar aqui é o Movimento Vetorial, especificamente as derivadas de vetores em relação ao tempo para encontrar a aceleração da partícula. Para resolver isso, vamos precisar calcular a segunda derivada do vetor posição em relação ao tempo.

Passo 2

Para encontrar o vetor aceleração, precisamos primeiro entender que aceleração é a derivada da velocidade, que por sua vez é a derivada da posição. Então, basicamente, precisamos derivar o vetor posição duas vezes em relação ao tempo t.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada do vetor posição, que nos dá o vetor velocidade v. A derivada de (2t + sin t) em relação a t é 2 + cos t, e a derivada de (t + cos t) é 1 - sin t. Assim, temos:
v = drdt = (2 + cos t) i + (1 - sin t) k

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada do vetor posição, que é a derivada do vetor velocidade. A derivada de (2 + cos t) em relação a t é - sin t, e a derivada de (1 - sin t) é - cos t. Portanto, a aceleração a é:
a = dvdt = (-sin t) i + (-cos t) k

Resposta

O vetor aceleração da partícula é:
a = -sin t , i - cos t , k

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