Uma partícula se move segundo o vetor posição
r(t)=a(cos t)^3 i+a(sen t)^3 j
ande a é uma constante e t in[0,2 pi].
b) Determine os vetores velocidade e aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move no plano, e o vetor posição dela é dado por:
r(t) = a(cos t)^3 i + a(sin t)^3 j
Aqui, a é uma constante e t varia de 0 a 2pi. Nosso objetivo é encontrar os vetores velocidade v(t) e aceleração a(t). Para isso, vamos usar derivadas, que fazem parte do cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Ou seja:
v(t) = dr(t)dt
Então, vamos derivar cada componente de r(t).

Passo 3

Vamos derivar a componente na direção de i:
ddt[a(cos t)^3] = a cdot 3(cos t)^2 cdot (-sin t) = -3a (cos t)^2 sin t
Agora, a componente na direção de j:
ddt[a(sin t)^3] = a cdot 3(sin t)^2 cdot cos t = 3a (sin t)^2 cos t

Passo 4

Com as derivadas das componentes, podemos escrever o vetor velocidade:
v(t) = -3a (cos t)^2 sin t , i + 3a (sin t)^2 cos t , j

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração, que é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt
Vamos derivar cada componente de v(t).

Passo 6

Derivando a componente na direção de i:
ddt[-3a (cos t)^2 sin t] = -3a [2 cos t (-sin t) sin t + (cos t)^2 cos t] = -3a (-2 cos t sin^2 t + cos^3 t)
Simplificando:
6a cos t sin^2 t - 3a cos^3 t
Derivando a componente na direção de j:
ddt[3a (sin t)^2 cos t] = 3a [2 sin t cos t cos t + (sin t)^2 (-sin t)] = 3a (2 sin t cos^2 t - sin^3 t)

Passo 7

Com as derivadas das componentes da velocidade, temos o vetor aceleração:
a(t) = [6a cos t sin^2 t - 3a cos^3 t] i + [6a sin t cos^2 t - 3a sin^3 t] j

Resposta

Os vetores velocidade e aceleração da partícula são:
v(t) = -3a (cos t)^2 sin t , i + 3a (sin t)^2 cos t , j
a(t) = [6a cos t sin^2 t - 3a cos^3 t] i + [6a sin t cos^2 t - 3a sin^3 t] j

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