vetor posição de uma partícula em movimento no plano é
Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração em um instante qualquer
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o vetor posição de uma partícula que tá se movendo no plano, dado por
Nosso objetivo é encontrar o vetor velocidade e o vetor aceleração dessa partícula em qualquer instante
. Para isso, vamos usar derivadas de funções vetoriais, que são fundamentais no cálculo para entender como a posição muda com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade é basicamente a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada do vetor posição em relação a
.
Então, calculamos:
Passo 3
Vamos derivar cada componente do vetor posição separadamente.
Para a componente
:
Para a componente
:
Passo 4
Juntando as derivadas das componentes, temos o vetor velocidade:
Ou, de forma simplificada:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a derivada do vetor velocidade em relação a
.
Então, calculamos:
Passo 6
Novamente, vamos derivar cada componente do vetor velocidade separadamente.
Para a componente
:
Para a componente
:
Passo 7
Juntando as derivadas das componentes, temos o vetor aceleração:
Ou, de forma simplificada:
Resposta
O vetor velocidade da partícula em qualquer instante
é
e o vetor aceleração é