O vetor posição de uma partícula em movimento no plano é
r(t)=t widehati+(t+1)^-1 widehatj, t >= 0
Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração em um instante qualquer t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o vetor posição de uma partícula que tá se movendo no plano, dado por
r(t) = t widehati + (t + 1)^-1 widehatj, t >= 0
Nosso objetivo é encontrar o vetor velocidade e o vetor aceleração dessa partícula em qualquer instante . Para isso, vamos usar derivadas de funções vetoriais, que são fundamentais no cálculo para entender como a posição muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade é basicamente a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada do vetor posição em relação a v(t) = dr(t)dt .
Então, calculamos:

Passo 3

Vamos derivar cada componente do vetor posição separadamente.
Para a componente ddt(t) = 1 :
ddt( (t + 1)^-1 ) = -1 cdot (t + 1)^-2 cdot ddt(t + 1) = - (t + 1)^-2
Para a componente :

Passo 4

Juntando as derivadas das componentes, temos o vetor velocidade:
v(t) = 1 widehati - (t + 1)^-2 widehatj
Ou, de forma simplificada:
v(t) = widehati - 1(t + 1)^2 widehatj

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a derivada do vetor velocidade em relação a a(t) = dv(t)dt .
Então, calculamos:

Passo 6

Novamente, vamos derivar cada componente do vetor velocidade separadamente.
Para a componente ddt(1) = 0 :
ddt( - (t + 1)^-2 ) = - (-2) cdot (t + 1)^-3 cdot ddt(t + 1) = 2(t + 1)^-3
Para a componente :

Passo 7

Juntando as derivadas das componentes, temos o vetor aceleração:
a(t) = 0 widehati + 2(t + 1)^-3 widehatj
Ou, de forma simplificada:
a(t) = 2(t + 1)^3 widehatj

Resposta

O vetor velocidade da partícula em qualquer instante v(t) = widehati - 1(t + 1)^2 widehatj é
a(t) = 2(t + 1)^3 widehatj
e o vetor aceleração é

Exercícios relacionados