Uma particula desloca-se da origem de um sistema de coordenadas x y a t=0 com velocidade inicial vi=(20 i-15 j) m / s. A particula se desloca no plano x y com uma aceleração a=(4,0 i) m / s^2. (a) determine as componentes da velocidade em função do tempo e o vetor velocidade total em qualquer tempo. (b) Calcule a velocidade de (a) e a velocidade escalar, em t=5,0 s. © Determine o ângulo theta que v faz com o eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um movimento no plano xy de uma partícula que começa na origem com uma certa velocidade inicial e está sujeita a uma aceleração constante. A matéria que vamos usar aqui é a cinemática, especificamente as equações do movimento com aceleração constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular as componentes da velocidade em função do tempo, a velocidade total, a velocidade escalar em um instante específico e o ângulo que a velocidade faz com o eixo x.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as componentes da velocidade em função do tempo. Sabemos que a velocidade inicial vi tem componentes vix = 20 , m/s e viy = -15 , m/s. A aceleração a tem componentes ax = 4 , m/s^2 e ay = 0 , m/s^2.
A fórmula para a velocidade em função do tempo com aceleração constante é:
vx(t) = vix + ax cdot t
vy(t) = viy + ay cdot t

Passo 3

Aplicando os valores que temos:
vx(t) = 20 , m/s + 4 , m/s^2 cdot t
vy(t) = -15 , m/s + 0 , m/s^2 cdot t = -15 , m/s
Então, as componentes da velocidade em função do tempo são:
vx(t) = 20 + 4t m/s
vy(t) = -15 m/s

Passo 4

Agora, para encontrar o vetor velocidade total v(t), juntamos as componentes vx(t) e vy(t):
v(t) = vx(t) i + vy(t) j = (20 + 4t) i - 15 j m/s

Passo 5

Para a parte (b), vamos calcular as velocidades em t = 5,0 , s. Substituindo t = 5 nas equações de vx(t) e vy(t):
vx(5) = 20 + 4 times 5 = 20 + 20 = 40 , m/s
vy(5) = -15 , m/s
Então, o vetor velocidade em t = 5,0 , s é:
v(5) = 40 i - 15 j m/s

Passo 6

Agora, para encontrar a velocidade escalar (ou rapidez) em t = 5,0 , s, usamos a fórmula do módulo do vetor velocidade:
|v| = raizvx^2 + vy^2
Substituindo os valores:
|v(5)| = raiz40^2 + (-15)^2 = raiz1600 + 225 = raiz1825 approx 42,72 , m/s

Passo 7

Para a parte ©, precisamos determinar o ângulo theta que a velocidade faz com o eixo x. Usamos a tangente desse ângulo, que é a razão entre a componente vy e vx:
tan(theta) = vyvx
Em t = 5,0 , s:
tan(theta) = -1540 = -0,375
Agora, calculando o ângulo:
theta = arctan(-0,375) approx -20,56^circ
Isso significa que o vetor velocidade faz um ângulo de aproximadamente 20,56^circ abaixo do eixo x.

Resposta

(a) As componentes da velocidade em função do tempo são vx(t) = 20 + 4t , m/s e vy(t) = -15 , m/s. O vetor velocidade total é v(t) = (20 + 4t) i - 15 j , m/s.
(b) Em t = 5,0 , s, v(5) = 40 i - 15 j , m/s e a velocidade escalar é aproximadamente 42,72 , m/s.
© O ângulo theta que v faz com o eixo x é aproximadamente -20,56^circ, ou seja, 20,56^circ abaixo do eixo x.

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