Um objeto é forçado a se mover ao longo do eixo
de tal forma que o deslocamento é dado por
onde
é dado em
e
em
. (a) Encontre a expressão para a velocidade
e a aceleração
. A aceleração é constante? (b) Qual é a posição inicial e a velocidade inicial do objeto? © Em que tempo e distância da origem a velocidade é zero? (d) Em que tempo e local a velocidade é
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um objeto se movendo ao longo do eixo
com um deslocamento dado por
, onde
está em metros e
em segundos. A matéria envolvida aqui é Cinemática, que estuda o movimento dos objetos sem considerar as causas desse movimento. Vamos precisar usar derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, além de resolver equações para responder as outras partes da questão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão para a velocidade
. A velocidade é a primeira derivada do deslocamento em relação ao tempo. Então, vamos derivar
:
Passo 3
Agora, vamos achar a aceleração
. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada do deslocamento:
A aceleração é constante porque seu valor não depende do tempo
; ela sempre será
.
Passo 4
Vamos para a parte (b). Queremos saber a posição inicial e a velocidade inicial do objeto.
A posição inicial é o deslocamento quando
:
A velocidade inicial é
:
Passo 5
Agora, na parte ©, precisamos encontrar o tempo e a distância da origem quando a velocidade é zero.
Primeiro, igualamos
a zero e resolvemos para
:
Agora, substituímos
na expressão de
para encontrar a posição:
Passo 6
Por fim, na parte (d), vamos encontrar o tempo e a posição quando a velocidade é
.
Igualamos
a
:
Agora, substituímos
na expressão de
:
Resposta
(a) A velocidade é
e a aceleração é
. A aceleração é constante.
(b) A posição inicial é
e a velocidade inicial é
.
© A velocidade é zero no tempo
e na posição
.
(d) A velocidade é
no tempo
e na posição
.