Um objeto é forçado a se mover ao longo do eixo x de tal forma que o deslocamento é dado por x(t)=30+20 t-15 t^2 onde x é dado em m e t em s. (a) Encontre a expressão para a velocidade v(t) e a aceleração a(t). A aceleração é constante? (b) Qual é a posição inicial e a velocidade inicial do objeto? © Em que tempo e distância da origem a velocidade é zero? (d) Em que tempo e local a velocidade é -50 m / s ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um objeto se movendo ao longo do eixo x com um deslocamento dado por x(t) = 30 + 20t - 15t^2, onde x está em metros e t em segundos. A matéria envolvida aqui é Cinemática, que estuda o movimento dos objetos sem considerar as causas desse movimento. Vamos precisar usar derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, além de resolver equações para responder as outras partes da questão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão para a velocidade v(t). A velocidade é a primeira derivada do deslocamento em relação ao tempo. Então, vamos derivar x(t):
v(t) = dx(t)dt = ddt(30 + 20t - 15t^2) = 0 + 20 - 30t = 20 - 30t

Passo 3

Agora, vamos achar a aceleração a(t). A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada do deslocamento:
a(t) = dv(t)dt = ddt(20 - 30t) = 0 - 30 = -30 , m/s^2
A aceleração é constante porque seu valor não depende do tempo t; ela sempre será -30 , m/s^2.

Passo 4

Vamos para a parte (b). Queremos saber a posição inicial e a velocidade inicial do objeto.
A posição inicial é o deslocamento quando t = 0:
x(0) = 30 + 20(0) - 15(0)^2 = 30 , m
A velocidade inicial é v(0):
v(0) = 20 - 30(0) = 20 , m/s

Passo 5

Agora, na parte ©, precisamos encontrar o tempo e a distância da origem quando a velocidade é zero.
Primeiro, igualamos v(t) a zero e resolvemos para t:
0 = 20 - 30t Rightarrow 30t = 20 Rightarrow t = 2030 = 23 , segundos
Agora, substituímos t = 23 na expressão de x(t) para encontrar a posição:
x(23) = 30 + 20(23) - 15(23)^2 = 30 + 403 - 15 times 49 = 30 + 403 - 609 = 30 + 403 - 203 = 30 + 203 = 903 + 203 = 1103 approx 36,67 , m

Passo 6

Por fim, na parte (d), vamos encontrar o tempo e a posição quando a velocidade é -50 , m/s.
Igualamos v(t) a -50:
-50 = 20 - 30t Rightarrow -70 = -30t Rightarrow t = 7030 = 73 approx 2,33 , segundos
Agora, substituímos t = 73 na expressão de x(t):
x(73) = 30 + 20(73) - 15(73)^2 = 30 + 1403 - 15 times 499 = 30 + 1403 - 7359 = 30 + 1403 - 2453 = 30 - 1053 = 30 - 35 = -5 , m

Resposta

(a) A velocidade é v(t) = 20 - 30t e a aceleração é a(t) = -30 , m/s^2. A aceleração é constante.
(b) A posição inicial é 30 , m e a velocidade inicial é 20 , m/s.
© A velocidade é zero no tempo t = 23 , s e na posição x approx 36,67 , m.
(d) A velocidade é -50 , m/s no tempo t approx 2,33 , s e na posição x = -5 , m.

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