Um coelho atravessa um estacionamento, no qual, por alguma razão, um conjunto de eixos coordenados foi desenhado. As coordenadas da posição do coelho, em metros, em função do tempo t, em segundos, são dadas por
& x(t)=-0,31 t^2+7,2 t+28 & y(t)=0,22 t^2-9,1 t+30
(a) No instante t=15 s, qual é o vetor posição r do coelho na notação de vetores unitários, o ângulo theta que r faz com o eixo x e o módulo de r ? (b) Determine a velocidade v do coelho no instante t=15 s, o módulo de v e o ângulo theta que v faz com o eixo x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos as equações que descrevem a posição do coelho no estacionamento em função do tempo t. Nosso objetivo na parte (a) é encontrar o vetor posição r do coelho no instante t = 15 s, o ângulo theta que esse vetor forma com o eixo x e o módulo desse vetor. Para isso, vamos calcular as coordenadas x(t) e y(t) no tempo dado, usar conceitos de vetores e trigonometria básica.

Passo 2

Vamos calcular as coordenadas x(t) e y(t) quando t = 15 s usando as equações fornecidas:
x(15) &= -0,31 times (15)^2 + 7,2 times 15 + 28 &= -0,31 times 225 + 108 + 28 &= -69,75 + 108 + 28 &= 66,25 m
y(15) &= 0,22 times (15)^2 - 9,1 times 15 + 30 &= 0,22 times 225 - 136,5 + 30 &= 49,5 - 136,5 + 30 &= -57 m

Passo 3

Agora, vamos construir o vetor posição r usando as coordenadas calculadas:
r = 66,25,i - 57,j (em metros)
Aqui, i e j são os vetores unitários nos eixos x e y, respectivamente.

Passo 4

Para encontrar o ângulo theta que o vetor r forma com o eixo x, usamos a função arco-tangente:
theta = arctan(yx) = arctan(-5766,25)
Calculando:
theta approx arctan(-0,86) approx -40,6^circ
O ângulo negativo indica que r está abaixo do eixo x.

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo de r, que representa a distância do coelho em relação à origem:
|r| = raizx^2 + y^2 = raiz(66,25)^2 + (-57)^2
Calculando:
|r| = raiz4389,06 + 3249 = raiz7638,06 approx 87,4 m

Resposta

(a) No instante t = 15 s:
  • Vetor posição: r = 66,25,i - 57,j m
  • Ângulo com o eixo x: theta approx -40,6^circ
  • Módulo de r: |r| approx 87,4 m

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