Um coelho atravessa um estacionamento, no qual, por alguma razão, um conjunto de eixos coordenados foi desenhado. As coordenadas da posição do coelho, em metros, em função do tempo , em segundos, são dadas por
(a) No instante , qual é o vetor posição do coelho na notação de vetores unitários, o ângulo que faz com o eixo e o módulo de ? (b) Determine a velocidade do coelho no instante , o módulo de e o ângulo que faz com o eixo .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos as equações que descrevem a posição do coelho no estacionamento em função do tempo . Nosso objetivo na parte (a) é encontrar o vetor posição do coelho no instante , o ângulo que esse vetor forma com o eixo e o módulo desse vetor. Para isso, vamos calcular as coordenadas e no tempo dado, usar conceitos de vetores e trigonometria básica.

Passo 2

Vamos calcular as coordenadas e quando usando as equações fornecidas:

Passo 3

Agora, vamos construir o vetor posição usando as coordenadas calculadas:
Aqui, e são os vetores unitários nos eixos e , respectivamente.

Passo 4

Para encontrar o ângulo que o vetor forma com o eixo , usamos a função arco-tangente:
Calculando:
O ângulo negativo indica que está abaixo do eixo .

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo de , que representa a distância do coelho em relação à origem:
Calculando:

Resposta

(a) No instante :
  • Vetor posição:
  • Ângulo com o eixo :
  • Módulo de :

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