Uma partícula se desloca em um plano -y, de tal modo que a sua velocidade é dada por: . Determine:
(e) O vetor posição para o instante .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula se movendo num plano x-y com uma velocidade dada por . Aí, a pergunta é: qual é o vetor posição dessa partícula no instante ?
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que é uma ferramenta matemática usada para encontrar a posição a partir da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição. Então, para encontrar a posição a partir da velocidade, precisamos integrar a função de velocidade em relação ao tempo.
A gente vai fazer isso para cada componente separadamente:
  • A componente em (horizontal)
  • A componente em (vertical)

Passo 3

Vamos começar com a componente em :
Para encontrar a posição nessa direção, integramos em relação ao tempo:
Fazendo a integração:
Onde é a constante de integração. Se a posição inicial for zero (o que geralmente assumimos se não for dado outro valor), então .
Então:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para a componente em :
Integrando em relação ao tempo:
Calculando a integral:
Novamente, assumindo que a posição inicial é zero, .
Então:

Passo 5

Agora que temos as funções de posição nas direções e , podemos montar o vetor posição :

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a posição no instante substituindo na expressão de :
Simplificando:

Resposta

O vetor posição no instante é:

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