Uma partícula se desloca em um plano x-y, de tal modo que a sua velocidade é dada por: v(t)=(6 t+2 t^2) i^wed>=+2 t^2 j. Determine:
(e) O vetor posição para o instante t=1 s.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula se movendo num plano x-y com uma velocidade dada por v(t) = (6t + 2t^2)i + 2t^2j. Aí, a pergunta é: qual é o vetor posição dessa partícula no instante t=1 s?
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que é uma ferramenta matemática usada para encontrar a posição a partir da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição. Então, para encontrar a posição a partir da velocidade, precisamos integrar a função de velocidade em relação ao tempo.
A gente vai fazer isso para cada componente separadamente:
  • A componente em i (horizontal)
  • A componente em j (vertical)

Passo 3

Vamos começar com a componente em i:
vx(t) = 6t + 2t^2
Para encontrar a posição nessa direção, integramos vx(t) em relação ao tempo:
x(t) = integral vx(t) , dt = integral (6t + 2t^2) , dt
Fazendo a integração:
x(t) = 3t^2 + 23t^3 + Cx
Onde Cx é a constante de integração. Se a posição inicial for zero (o que geralmente assumimos se não for dado outro valor), então Cx = 0.
Então:
x(t) = 3t^2 + 23t^3

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para a componente em j:
vy(t) = 2t^2
Integrando em relação ao tempo:
y(t) = integral vy(t) , dt = integral 2t^2 , dt
Calculando a integral:
y(t) = 23t^3 + Cy
Novamente, assumindo que a posição inicial é zero, Cy = 0.
Então:
y(t) = 23t^3

Passo 5

Agora que temos as funções de posição nas direções i e j, podemos montar o vetor posição r(t):
r(t) = x(t)i + y(t)j = (3t^2 + 23t^3)i + (23t^3)j

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a posição no instante t=1 s substituindo t=1 na expressão de r(t):
r(1) = (3(1)^2 + 23(1)^3)i + (23(1)^3)j
Simplificando:
r(1) = (3 + 23)i + (23)j = 113i + 23j

Resposta

O vetor posição no instante t=1 s é:
r(1) = 113i + 23j

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