Uma partícula se desloca em um plano
-y, de tal modo que a sua velocidade é dada por:
. Determine:
(e) O vetor posição para o instante
.
(e) O vetor posição para o instante
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula se movendo num plano x-y com uma velocidade dada por
. Aí, a pergunta é: qual é o vetor posição dessa partícula no instante
?
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que é uma ferramenta matemática usada para encontrar a posição a partir da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição. Então, para encontrar a posição a partir da velocidade, precisamos integrar a função de velocidade em relação ao tempo.
A gente vai fazer isso para cada componente separadamente:
- A componente em
(horizontal) - A componente em
(vertical)
Passo 3
Vamos começar com a componente em
:
Para encontrar a posição nessa direção, integramos
em relação ao tempo:
Fazendo a integração:
Onde
é a constante de integração. Se a posição inicial for zero (o que geralmente assumimos se não for dado outro valor), então
.
Então:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para a componente em
:
Integrando em relação ao tempo:
Calculando a integral:
Novamente, assumindo que a posição inicial é zero,
.
Então:
Passo 5
Agora que temos as funções de posição nas direções
e
, podemos montar o vetor posição
:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular a posição no instante
substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
O vetor posição no instante
é:
Exercícios relacionados
Um pedreiro engenhoso montou um dispositivo que dispara tijolos até a altura da parede onde ele está trabalhando. Ele coloca o tijolo comprimindo uma mola vertical, com massa desprezível e constante
. Quando a mola é liberada, o tijolo é disparado de baixo para cima. Sabendo que o tijolo possui massa
e que ele deve atingir uma altura máxima
acima de sua posição inicial sobre a mola comprimida, qual é a distância
que a mola deve ser inicialmente comprimida ? O tijolo perde o contato com a mola no instante em que a mola retorna ao seu comprimento sem deformação. Resp:
.
A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo
é dada por
, onde
está em metros e t em segundos.
(a) Qual a posição do objeto em e
?
(a) Qual a posição do objeto em
a) Calcule a quantidade de trabalho que o atleta realiza ao saltar de uma posição inicial agachada até a altura máxima que ele pode alcançar.
Um pedaço de madeira
flutua em um líquido
. O volume total da madeira é 36
, calcule a massa da madeira;