Uma partícula se desloca em um plano x-y, de tal modo que a sua velocidade é dada por: V(t)=(6 t+2 t^2) imath+2 t^2 j. Determine:
(a) O vetor aceleração em um instante qualquer;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move num plano e a velocidade dela é dada pela função . Nosso objetivo aqui é descobrir o vetor aceleração dessa partícula em qualquer instante de tempo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada da velocidade para encontrar a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Matematicamente, isso significa que a aceleração a(t) = dV(t)dt é a derivada da velocidade em relação a :

Passo 3

Vamos calcular a derivada de cada componente da velocidade. A velocidade é um vetor, então derivamos cada parte separadamente.
Para a componente Vx(t) = 6t + 2t^2 :
dVx(t)dt = 6 + 4t
Derivando em relação a Vy(t) = 2t^2 :
dVy(t)dt = 4t
Para a componente :
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, juntando as derivadas das duas componentes, temos o vetor acelera��ão:
a(t) = (6 + 4t),imath + 4t,jmath

Resposta

O vetor aceleração em um instante qualquer a(t) = (6 + 4t),imath + 4t,jmath é:

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