Utilize os limites fundamentais para calcular: lim x pi2^-(1+cos x)^sec x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse problema envolve os conceitos de limites fundamentais e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como o cosseno e a secante se comportam perto de , além de usar propriedades de limites e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão quando se aproxima de por valores menores (da esquerda). Sabemos que , então vai se aproximando de 0. Assim, se aproxima de 1.

Passo 3

Agora, vamos olhar para . A secante é o inverso do cosseno, ou seja, . Como está se aproximando de 0, está indo para infinito positivo.

Passo 4

Então, temos uma expressão do tipo L = lim x pi2^-(1+cos x)^sec x , que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos usar o logaritmo natural para simplificar:
ln L = lim x pi2^- sec x cdot ln(1 + cos x)
Aplicando o logaritmo:

Passo 5

Substituindo ln L = lim x pi2^- ln(1 + cos x)cos x por ln L approx lim x pi2^- cos xcos x = 1 :
Sabemos que quando é próximo de 0, . Então:

Resposta

Portanto, . O limite é .

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