Utilize os limites fundamentais para calcular:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse problema envolve os conceitos de limites fundamentais e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como o cosseno e a secante se comportam perto de
, além de usar propriedades de limites e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão quando
se aproxima de
por valores menores (da esquerda). Sabemos que
, então
vai se aproximando de 0. Assim,
se aproxima de 1.
Passo 3
Agora, vamos olhar para
. A secante é o inverso do cosseno, ou seja,
. Como
está se aproximando de 0,
está indo para infinito positivo.
Passo 4
Então, temos uma expressão do tipo
, que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos usar o logaritmo natural para simplificar:
Aplicando o logaritmo:
Passo 5
Substituindo
por
:
Sabemos que quando
é próximo de 0,
. Então:
Resposta
Portanto,
. O limite é
.