Uma partícula gira em torno de um eixo fixo horizontal que passa por um ponto do seu perímetro, livre para girar em torno de um eixo perpendicular ao seu plano. Uma partícula de massa m é presa à borda do disco no topo, diretamente perpendicular ao pivô. O sistema é levemente desequilibrado e o disco começa a girar. Quando a partícula passa pelo seu ponto mais baixo, (a) qual é a rapidez angular do disco e (b) qual é a força exercida pelo pivô sobre a partícula?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa presa na borda de um disco que gira em torno de um eixo fixo. O disco começa a girar devido a um pequeno desequilíbrio. Precisamos encontrar:
(a) A rapidez angular do disco quando a partícula está no ponto mais baixo.
(b) A força que o pivô exerce sobre a partícula nesse ponto.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre movimento circular e forças centrípetas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a energia do sistema. Quando a partícula passa pelo ponto mais baixo, ela ganha energia cinética devido à rotação.
A energia potencial no ponto mais alto é convertida em energia cinética no ponto mais baixo. A diferença de energia potencial ( De) é dada por:
onde é a altura que a partícula desceu, que, neste caso, é igual ao diâmetro do disco, pois ela passa do topo ao fundo. Se o raio do disco for , então .

Passo 3

A energia cinética rotacional ( Ec = 12 I omega^2 ) do sistema é dada por:
I = m R^2
onde é o momento de inércia do disco mais a partícula, e é a rapidez angular que queremos encontrar.
O momento de inércia do disco (considerando que a massa está concentrada na borda) é:

Passo 4

Igualamos a energia potencial perdida à energia cinética adquirida:
m g h = 12 I omega^2
Substituindo m g (2R) = 12 (m R^2) omega^2 e :

Passo 5

Simplificamos a equação:
2 m g R = 12 m R^2 omega^2
Dividindo ambos os lados por 2 g = 12 R omega^2 :
4 g = R omega^2
Multiplicando ambos os lados por 2:
omega^2 = 4 gR
Isolando omega = raiz4 gR = 2 raizgR :

Passo 6

Agora, para encontrar a força que o pivô exerce sobre a partícula ( Fc = m omega^2 R ) no ponto mais baixo, consideramos as forças envolvidas. A força normal N = Fc + m g = m omega^2 R + m g deve fornecer a força centrípeta necessária para a movimentação circular, além de equilibrar o peso da partícula.
A força centrípeta ( N = m ( 4 gR ) R + m g = 4 m g + m g = 5 m g ) é:
A força normal é a soma do peso e da força centrípeta:
Substituindo :

Resposta

(a) A rapidez angular do disco é .
(b) A força exercida pelo pivô sobre a partícula é .

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