Uma partícula de parte do repouso e se move ao longo do eixo x sob a influência de uma força única , onde está em newtons e x está em metros. Determine o trabalho realizado pela força enquanto a partícula se move de até .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula de 3,0 kg que começa parada na posição x = 0,050 m e se move até x = 3,0 m sob a ação de uma força que varia com a posição. O conteúdo envolvido aqui é Trabalho de Forças Variáveis, que usamos para calcular o trabalho realizado por uma força que muda conforme a posição. Para resolver, vamos precisar calcular a integral da força em relação à posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho na física. O trabalho (W) realizado por uma força quando um objeto se move de um ponto A para um ponto B é dado pela integral da força em relação ao deslocamento. Matemáticamente, isso é expresso por:
Aqui, é a força que varia com a posição , e e são as posições inicial e final, respectivamente.

Passo 3

No nosso caso, a força é dada por:
Queremos calcular o trabalho realizado por essa força quando a partícula se move de até . Vamos então montar a integral:

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando cada termo separadamente:
  1. Integrar 6,0:
    A integral de uma constante em relação a é :
  2. Integrar 4,0x:
    A integral de é :
  3. Integrar -3,0x²:
    A integral de é :

Passo 5

Agora, somando todas as integrais, temos a expressão do trabalho:
Isso significa que vamos substituir os limites de integração na expressão e calcular a diferença.
Calculando para :
Calculando para :

Passo 6

Agora, vamos encontrar a diferença entre os dois valores calculados:
Arredondando para duas casas decimais:

Resposta

O trabalho realizado pela força durante o movimento da partícula é de aproximadamente 8,70 joules.

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