Uma partícula de 3,0 kg parte do repouso em x=0,050 m e se move ao longo do eixo x sob a influência de uma força única Fx=6,0+4,0 x-3,0 x^2, onde Fx está em newtons e x está em metros. Determine o trabalho realizado pela força enquanto a partícula se move de x=0,050 m até x=3,0 m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula de 3,0 kg que começa parada na posição x = 0,050 m e se move até x = 3,0 m sob a ação de uma força que varia com a posição. O conteúdo envolvido aqui é Trabalho de Forças Variáveis, que usamos para calcular o trabalho realizado por uma força que muda conforme a posição. Para resolver, vamos precisar calcular a integral da força em relação à posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho na física. O trabalho (W) realizado por uma força quando um objeto se move de um ponto A para um ponto B é dado pela integral da força em relação ao deslocamento. Matemáticamente, isso é expresso por:
W = integralxA^xB F(x) , dx
Aqui, é a força que varia com a posição , e e são as posições inicial e final, respectivamente.

Passo 3

No nosso caso, a força é dada por:
Fx = 6,0 + 4,0x - 3,0x^2
Queremos calcular o trabalho realizado por essa força quando a partícula se move de W = integral0,050^3,0 (6,0 + 4,0x - 3,0x^2) , dx até . Vamos então montar a integral:

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando cada termo separadamente:
  1. Integrar 6,0:
    A integral de uma constante integral 6,0 , dx = 6,0x em relação a integral 4,0x , dx = 2,0x^2 é integral -3,0x^2 , dx = -1,0x^3 :
  2. Integrar 4,0x:
    A integral de é :
  3. Integrar -3,0x²:
    A integral de é :

Passo 5

Agora, somando todas as integrais, temos a expressão do trabalho:
W = [6,0x + 2,0x^2 - 1,0x^3]0,050^3,0
Isso significa que vamos substituir os limites de integração na expressão e calcular a diferença.
Calculando para 6,0 cdot 3,0 + 2,0 cdot (3,0)^2 - 1,0 cdot (3,0)^3 = 18,0 + 18,0 - 27,0 = 9,0 , J :
6,0 cdot 0,050 + 2,0 cdot (0,050)^2 - 1,0 cdot (0,050)^3 = 0,3 + 0,005 - 0,000125 = 0,304875 , J
Calculando para :

Passo 6

Agora, vamos encontrar a diferença entre os dois valores calculados:
W = 9,0 , J - 0,304875 , J = 8,695125 , J
Arredondando para duas casas decimais:
W approx 8,70 , J

Resposta

O trabalho realizado pela força durante o movimento da partícula é de aproximadamente 8,70 joules.

Exercícios relacionados