Quando uma partícula está localizada a uma distância de x metros da origem, uma força de cos (pi x / 3) newtons atua sobre ela. Quanto trabalho é realizado ao mover a partícula de x=1 até x=2 ? Interprete a sua resposta considerando o trabalho realizado de x=1 para x=1,5 e de x=1,5 para x=2.

Passo 1

O exercício fala sobre uma partícula que, quando está a x metros da origem, é submetida a uma força de cos (pi x / 3) newtons. Nós precisamos calcular o trabalho realizado ao mover a partícula de x=1 até x=2. O conteúdo que estamos usando aqui é sobre trabalho em física, que é calculado pela integral da força em relação à posição. Para resolver, vamos precisar integrar a função de força entre os limites de x=1 e x=2.

Passo 2

O trabalho W realizado por uma força ao mover uma partícula de x=a até x=b é dado pela integral da força F(x), assim:
W = integrala^b F(x) , dx
No nosso caso, a força é F(x) = cos(pi x / 3), estamos movendo de x=1 até x=2, então vamos substituir a equação:
W = integral1^2 cos(pi x3) , dx
Agora, vamos calcular essa integral.

Passo 3

Para resolver a integral, precisamos encontrar a integral indefinida de cos(pi x3). A integral de cos(kx) é 1k sin(kx). Aqui, k = pi3.
Então, a integral fica assim:
integral cos(pi x3) , dx = 3pi sin(pi x3) + C
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 1 até 2:
W = [3pi sin(pi x3)]1^2

Passo 4

Vamos calcular agora. Primeiro, substituímos x=2:
W(2) = 3pi sin(pi cdot 23) = 3pi sin(2pi3)
Sabemos que sin(2pi3) = raiz32, então:
W(2) = 3pi cdot raiz32 = 3raiz32pi
Agora, substituímos x=1:
W(1) = 3pi sin(pi cdot 13) = 3pi sin(pi3)
E sin(pi3) = raiz32, logo:
W(1) = 3pi cdot raiz32 = 3raiz32pi
Agora, vamos calcular o trabalho total:
W = W(2) - W(1) = 3raiz32pi - 3raiz32pi = 0
Isso significa que o trabalho realizado de x=1 até x=2 é 0.
Agora, para interpretar a resposta, entre x=1 e x=1,5, e depois de x=1,5 até x=2, o trabalho realizado é zero. Isso indica que a força está atuando de forma que o deslocamento da partícula não resulta em trabalho, talvez porque a força não está mudando ou influenciando a partícula nesses intervalos específicos.

Resposta

O trabalho realizado ao mover a partícula de x=1 até x=2 é 0.

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