Uma partícula é movida ao longo do eixo
por uma força que mede
libras em um ponto a
e pés da origem. Calcule o trabalho realizado ao mover a partícula da origem até a distância de 9 pés.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular o trabalho realizado ao mover uma partícula sob a ação de uma força que varia com a posição
. A força é dada pela função
(em libras) e precisamos calcular o trabalho quando a partícula se desloca da origem (onde
) até
pés. O conteúdo que estamos usando aqui é o cálculo do trabalho a partir de uma força variável, e vamos precisar da integral definida para isso.
Passo 2
A fórmula para o trabalho
realizado por uma força variável ao longo de um deslocamento é dada pela integral da força em relação à posição. Em termos matemáticos, isso fica assim:
onde
e
são os limites de integração (neste caso,
e
). Então, precisamos calcular:
Passo 3
Agora vamos resolver essa integral. Para isso, vamos primeiro reescrever a integral:
Sabemos que a integral de
é uma integral conhecida, e sua antiderivada é:
Assim, podemos substituí-la em nossa integral. Portanto, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites. Na verdade, vamos substituir os valores de
na antiderivada que encontramos:
- Para
:
- Para
:
Substituindo isso na nossa expressão do trabalho, ficamos com:
Simplificando isso:
Resposta
O trabalho realizado ao mover a partícula da origem até a distância de 9 pés é de 9 libras-pés.
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e de
para
.
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