Uma partícula é movida ao longo do eixo por uma força que mede libras em um ponto a e pés da origem. Calcule o trabalho realizado ao mover a partícula da origem até a distância de 9 pés.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular o trabalho realizado ao mover uma partícula sob a ação de uma força que varia com a posição . A força é dada pela função (em libras) e precisamos calcular o trabalho quando a partícula se desloca da origem (onde ) até pés. O conteúdo que estamos usando aqui é o cálculo do trabalho a partir de uma força variável, e vamos precisar da integral definida para isso.

Passo 2

A fórmula para o trabalho realizado por uma força variável ao longo de um deslocamento é dada pela integral da força em relação à posição. Em termos matemáticos, isso fica assim:
onde e são os limites de integração (neste caso, e ). Então, precisamos calcular:

Passo 3

Agora vamos resolver essa integral. Para isso, vamos primeiro reescrever a integral:
Sabemos que a integral de é uma integral conhecida, e sua antiderivada é:
Assim, podemos substituí-la em nossa integral. Portanto, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites. Na verdade, vamos substituir os valores de na antiderivada que encontramos:
  1. Para :
  1. Para :
Substituindo isso na nossa expressão do trabalho, ficamos com:
Simplificando isso:

Resposta

O trabalho realizado ao mover a partícula da origem até a distância de 9 pés é de 9 libras-pés.

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