Uma partícula é movida ao longo do eixo x por uma força que mede 10 /(1+x)^2 libras em um ponto a x e pés da origem. Calcule o trabalho realizado ao mover a partícula da origem até a distância de 9 pés.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular o trabalho realizado ao mover uma partícula sob a ação de uma força que varia com a posição x. A força é dada pela função F(x) = 10(1+x)^2 (em libras) e precisamos calcular o trabalho quando a partícula se desloca da origem (onde x = 0) até x = 9 pés. O conteúdo que estamos usando aqui é o cálculo do trabalho a partir de uma força variável, e vamos precisar da integral definida para isso.

Passo 2

A fórmula para o trabalho W realizado por uma força variável ao longo de um deslocamento é dada pela integral da força em relação à posição. Em termos matemáticos, isso fica assim:
W = integrala^b F(x) , dx
onde a e b são os limites de integração (neste caso, 0 e 9). Então, precisamos calcular:
W = integral0^9 10(1+x)^2 , dx

Passo 3

Agora vamos resolver essa integral. Para isso, vamos primeiro reescrever a integral:
W = 10 integral0^9 1(1+x)^2 , dx
Sabemos que a integral de 1(1+x)^2 é uma integral conhecida, e sua antiderivada é:
-11+x
Assim, podemos substituí-la em nossa integral. Portanto, temos:
W = 10 [-11+x]0^9

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites. Na verdade, vamos substituir os valores de x na antiderivada que encontramos:
  1. Para x = 9:
-11+9 = -110
  1. Para x = 0:
-11+0 = -1
Substituindo isso na nossa expressão do trabalho, ficamos com:
W = 10 [-110 - (-1)] = 10 [-110 + 1]
Simplificando isso:
W = 10 [10 - 110] = 10 [910] = 9

Resposta

O trabalho realizado ao mover a partícula da origem até a distância de 9 pés é de 9 libras-pés.

Exercícios relacionados