Uma partícula de massa m, que se desloca na direção x, encontra-se confinada em um poço de potencial infinito, entre x=0 e x=L. De modo que a função de onda para qualquer autoestado estacionário de energia da partícula é dada por
psi(x)= raiz2L sin (n pi xL) & (0L)
com autovalores de energia
En=n^2 pi^2 hbar^22 m L^2 n=1,2,3, ldots
(b) O autoestado estacionário que minimiza o produto das incertezas (De;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula de massa que está confinada em um poço de potencial infinito entre e . A gente tem a função de onda para os autoestados estacionários de energia e os autovalores de energia . A parte (b) da questão pede para a gente encontrar qual desses autoestados estacionários minimiza o produto das incertezas nas posições e no momento . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular essas incertezas para cada autoestado e identificar qual torna esse produto o menor possível.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são incertezas De e De. Na mecânica quântica, a incerteza em uma grandeza física, como posição ou momento, é definida pela raiz quadrada da variância dessa grandeza. Ou seja:
Aqui, e são os valores esperados de posição e momento, respectivamente, e e são os valores esperados dos quadrados dessas grandezas.

Passo 3

Como a partícula está em um poço de potencial simétrico entre psin(x) = raiz2L sin(npi xL) e De, os autoestados são simétricos ou anti-simétricos, dependendo do valor de . Mas observando a função de onda dada:
Notamos que para qualquer , a expectativa de posição será devido à simetria do sistema. Portanto, será:

Passo 4

Para calcular lang<= x^2 rang<= = integral0^L psin(x) x^2 psin(x) dx = 2L integral0^L x^2 sin^2(npi xL) dx , usamos a integral:
lang<= x^2 rang<= = L^23 - L^22pi^2 n^2
Essa integral pode ser resolvida usando identidades trigonométricas e propriedades de integrais de funções senoidais. O resultado é:
De
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos calcular lang<= p^2 rang<= = integral0^L psin(x) (-hbar^2 d^2dx^2) psin(x) dx = hbar^2 kn^2 . Sabemos que na mecânica quântica, o operador do momento lang<= p^2 rang<= = hbar^2 (npiL)^2 está relacionado ao operador derivada pela relação De. A expectativa de para o estado é zero devido à simetria do problema, ou seja, .
Para , temos:
Onde . Então:
Portanto,

Passo 6

Agora que temos De e De, vamos calcular o produto das incertezas :
Simplificando:

Passo 7

Para minimizar , observamos como essa expressão depende de . Analisando os termos, percebemos que à medida que aumenta, o segundo termo dentro da raiz se torna menor, mas o termo fora da raiz cresce linearmente com . Portanto, o produto das incertezas será mínimo para o menor valor possível de , que é .

Resposta

O autoestado estacionário que minimiza o produto das incertezas é o estado com , ou seja, o estado fundamental.

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