Uma partícula de massa
, que se desloca na direção
, encontra-se confinada em um poço de potencial infinito, entre
e
. De modo que a função de onda para qualquer autoestado estacionário de energia da partícula é dada por
com autovalores de energia
(b) O autoestado estacionário que minimiza o produto das incertezas
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula de massa
que está confinada em um poço de potencial infinito entre
e
. A gente tem a função de onda para os autoestados estacionários de energia
e os autovalores de energia
. A parte (b) da questão pede para a gente encontrar qual desses autoestados estacionários minimiza o produto das incertezas nas posições
e no momento
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular essas incertezas para cada autoestado e identificar qual
torna esse produto o menor possível.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são incertezas
e
. Na mecânica quântica, a incerteza em uma grandeza física, como posição ou momento, é definida pela raiz quadrada da variância dessa grandeza. Ou seja:
Aqui,
e
são os valores esperados de posição e momento, respectivamente, e
e
são os valores esperados dos quadrados dessas grandezas.
Passo 3
Como a partícula está em um poço de potencial simétrico entre
e
, os autoestados
são simétricos ou anti-simétricos, dependendo do valor de
. Mas observando a função de onda dada:
Notamos que para qualquer
, a expectativa de posição
será
devido à simetria do sistema. Portanto,
será:
Passo 4
Para calcular
, usamos a integral:
Essa integral pode ser resolvida usando identidades trigonométricas e propriedades de integrais de funções senoidais. O resultado é:
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Sabemos que na mecânica quântica, o operador do momento
está relacionado ao operador derivada pela relação
. A expectativa de
para o estado
é zero devido à simetria do problema, ou seja,
.
Para
, temos:
Onde
. Então:
Portanto,
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos calcular o produto das incertezas
:
Simplificando:
Passo 7
Para minimizar
, observamos como essa expressão depende de
. Analisando os termos, percebemos que à medida que
aumenta, o segundo termo dentro da raiz se torna menor, mas o termo fora da raiz cresce linearmente com
. Portanto, o produto das incertezas será mínimo para o menor valor possível de
, que é
.
Resposta
O autoestado estacionário que minimiza o produto das incertezas
é o estado com
, ou seja, o estado fundamental.
Exercícios relacionados
(a)
O produto de uma carga elétrica por uma diferença de potencial é expresso em unidades de:
a) energia
a) energia
Os braços do interferômetro de Michelson-Morley tinham cerca de 10 m e a fonte de luz era de sódio, com comprimento de onda de
.
(a) Determine as diferenças de tempo e de marcha esperadas, quando o feixe de luz é paralelo à velocidade da Terra;
(a) Determine as diferenças de tempo e de marcha
Para um observador na Terra, a frequência da luz emitida por uma estrela é deslocada do azul em
, ou seja,
.
(b) Determine a velocidade da estrela em relação à Terra.
(b) Determine a velocidade da estrela em relação à Terra.