Uma partícula de massa , que se desloca na direção , encontra-se confinada em um poço de potencial infinito, entre e . De modo que a função de onda para qualquer autoestado estacionário de energia da partícula é dada por
com autovalores de energia
(b) O autoestado estacionário que minimiza o produto das incertezas ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula de massa que está confinada em um poço de potencial infinito entre e . A gente tem a função de onda para os autoestados estacionários de energia e os autovalores de energia . A parte (b) da questão pede para a gente encontrar qual desses autoestados estacionários minimiza o produto das incertezas nas posições e no momento . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular essas incertezas para cada autoestado e identificar qual torna esse produto o menor possível.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são incertezas e . Na mecânica quântica, a incerteza em uma grandeza física, como posição ou momento, é definida pela raiz quadrada da variância dessa grandeza. Ou seja:
Aqui, e são os valores esperados de posição e momento, respectivamente, e e são os valores esperados dos quadrados dessas grandezas.

Passo 3

Como a partícula está em um poço de potencial simétrico entre e , os autoestados são simétricos ou anti-simétricos, dependendo do valor de . Mas observando a função de onda dada:
Notamos que para qualquer , a expectativa de posição será devido à simetria do sistema. Portanto, será:

Passo 4

Para calcular , usamos a integral:
Essa integral pode ser resolvida usando identidades trigonométricas e propriedades de integrais de funções senoidais. O resultado é:
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos calcular . Sabemos que na mecânica quântica, o operador do momento está relacionado ao operador derivada pela relação . A expectativa de para o estado é zero devido à simetria do problema, ou seja, .
Para , temos:
Onde . Então:
Portanto,

Passo 6

Agora que temos e , vamos calcular o produto das incertezas :
Simplificando:

Passo 7

Para minimizar , observamos como essa expressão depende de . Analisando os termos, percebemos que à medida que aumenta, o segundo termo dentro da raiz se torna menor, mas o termo fora da raiz cresce linearmente com . Portanto, o produto das incertezas será mínimo para o menor valor possível de , que é .

Resposta

O autoestado estacionário que minimiza o produto das incertezas é o estado com , ou seja, o estado fundamental.

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(a) Fora do fio ;
O produto de uma carga elétrica por uma diferença de potencial é expresso em unidades de:
a) energia
Os braços do interferômetro de Michelson-Morley tinham cerca de 10 m e a fonte de luz era de sódio, com comprimento de onda de .
(a) Determine as diferenças de tempo e de marcha esperadas, quando o feixe de luz é paralelo à velocidade da Terra;
Para um observador na Terra, a frequência da luz emitida por uma estrela é deslocada do azul em , ou seja, .
(b) Determine a velocidade da estrela em relação à Terra.