Uma partícula de massa
desloca-se sobre o eixo
com função de posição
, em que
é suposta derivável até a segunda ordem em
. Suponha que a componente, na direção do deslocamento, da força resultante
que atua sobre a partícula seja
, com
contínua em
, em que
e
. Sabendo que o trabalho
realizado por
de
a
é dado por
, verifique que
ou seja,
é a variação da energia cinética, onde
e
são as velocidades nos instantes
e
, respectivamente.
ou seja,
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa
que se move ao longo do eixo
com uma posição dada por
. A força que age na partícula na direção do deslocamento é
, que é contínua no intervalo considerado. A gente precisa mostrar que o trabalho total
realizado por essa força quando a partícula se move de
para
é igual à variação da energia cinética da partícula, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de trabalho, força, movimento e energia cinética da física.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho
realizado por uma força constante ao mover um objeto de
para
é dado pela integral da força em relação ao deslocamento. No nosso caso, a força não é constante, mas depende de
, então a expressão geral do trabalho é:
Passo 3
Agora, vamos conectar isso com a energia cinética. A energia cinética
de um objeto em movimento é dada por:
onde
é a velocidade do objeto.
Passo 4
Segundo o teorema do trabalho e da energia, o trabalho realizado pela força resultante em um objeto é igual à variação da energia cinética desse objeto. Matemáticamente, isso é expresso como:
onde
é a energia cinética no instante final
e
é a energia cinética no instante inicial
.
Passo 5
Substituindo a expressão da energia cinética na equação do teorema, temos:
Isso mostra que o trabalho realizado pela força
ao mover a partícula de
para
é igual à diferença das energias cinéticas nos instantes
e
.
Resposta
Assim, verificamos que:
Ou seja, o trabalho
é igual à variação da energia cinética da partícula.
Exercícios relacionados
Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Calcule:
(a) $\int_{0}^{1} \frac{1}{(x+1)^{5}} d x$
(b) $\int_{-1}^{0} t^{2} \sqrt{1+t^{3}} d t$
(c) $\int_{0}^{1} \frac{x}{(x+1)^{5}} d x$
(d) $\int_{0}^{1} \frac{s}{\sqrt{s^{2}+1}} d s$
(e) $\int_{0}^{1} x \sqrt{1+2 x^{2}} d x$
(f) $\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{x+1}} d x$
(g) $\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{x+1}^3} d x$
(h) $\int_{-2}^{2} (|x|+1) d x$
(i) $\int_{-1}^{1} x^{3}\left(x^{2}+3\right)^{10} d x$
(j) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen}(x) \cos ^{2}(x) d x$.
Calcule, utilizando mudança de variáveis, as seguintes integrais:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Calcule:
(a) $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$
(b) $\int_{0}^{\pi} x^{3} \cos \left(x^{2}\right) d x$