Uma partícula de massa m desloca-se sobre o eixo x com função de posição x=x(t), em que x(t) é suposta derivável até a segunda ordem em [t0, t1]. Suponha que a componente, na direção do deslocamento, da força resultante F que atua sobre a partícula seja f(x), com f contínua em [x0, x1], em que x0=x(t0) e x1=x(t1). Sabendo que o trabalho tau realizado por F(x)=f(x) i de x0 a x1 é dado por tau=integralx0^x1 f(x) d x, verifique que
tau=m v1^22-m v0^22
ou seja, tau é a variação da energia cinética, onde v0 e v1 são as velocidades nos instantes t0 e t1, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa m que se move ao longo do eixo x com uma posição dada por x(t). A força que age na partícula na direção do deslocamento é f(x), que é contínua no intervalo considerado. A gente precisa mostrar que o trabalho total tau realizado por essa força quando a partícula se move de x0 para x1 é igual à variação da energia cinética da partícula, ou seja:
tau = m v1^22 - m v0^22
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de trabalho, força, movimento e energia cinética da física.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho tau realizado por uma força constante ao mover um objeto de x0 para x1 é dado pela integral da força em relação ao deslocamento. No nosso caso, a força não é constante, mas depende de x, então a expressão geral do trabalho é:
tau = integralx0^x1 f(x) , dx

Passo 3

Agora, vamos conectar isso com a energia cinética. A energia cinética K de um objeto em movimento é dada por:
K = 12 m v^2
onde v é a velocidade do objeto.

Passo 4

Segundo o teorema do trabalho e da energia, o trabalho realizado pela força resultante em um objeto é igual à variação da energia cinética desse objeto. Matemáticamente, isso é expresso como:
tau = K1 - K0
onde K1 é a energia cinética no instante final t1 e K0 é a energia cinética no instante inicial t0.

Passo 5

Substituindo a expressão da energia cinética na equação do teorema, temos:
tau = 12 m v1^2 - 12 m v0^2
Isso mostra que o trabalho realizado pela força f(x) ao mover a partícula de x0 para x1 é igual à diferença das energias cinéticas nos instantes t1 e t0.

Resposta

Assim, verificamos que:
tau = m v1^22 - m v0^22
Ou seja, o trabalho tau é igual à variação da energia cinética da partícula.

Exercícios relacionados

Calcule:
(a) integral 1x^2-4 d x
(b) integral xx^2-5 x+6 d x
© integral 2 x+1x^2-1 d x
(d) integral x+1x(x-2)(x+3) d x
(e) integral x^2+3 x+1x^2-2 x-3 d x
Calcule: (a) $\int_{0}^{1} \frac{1}{(x+1)^{5}} d x$ (b) $\int_{-1}^{0} t^{2} \sqrt{1+t^{3}} d t$ (c) $\int_{0}^{1} \frac{x}{(x+1)^{5}} d x$ (d) $\int_{0}^{1} \frac{s}{\sqrt{s^{2}+1}} d s$ (e) $\int_{0}^{1} x \sqrt{1+2 x^{2}} d x$ (f) $\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{x+1}} d x$ (g) $\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{x+1}^3} d x$ (h) $\int_{-2}^{2} (|x|+1) d x$ (i) $\int_{-1}^{1} x^{3}\left(x^{2}+3\right)^{10} d x$ (j) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen}(x) \cos ^{2}(x) d x$.
Calcule, utilizando mudança de variáveis, as seguintes integrais:
(a) integral raiz3 x-2 d x
(b) integral 11+9 x^2 d x
© integral sen^5(x) cos (x) d x
(d) integral x(1+4 x^2)^2 d x
(e) integral e^x raiz1+e^x d x
(f) integral 2 x+3raiz1-4 x^2 d x
(g) integral 1raiz1-(ln x)^2 d x.
Calcule: (a) $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$ (b) $\int_{0}^{\pi} x^{3} \cos \left(x^{2}\right) d x$