Uma partícula inicialmente em repouso está sujeita, começando em
, a uma força
.
(b) Como a velocidade final depende de
e de
?
(Sugestão: Os cálculos algébricos serão simplificados escrevendo-se
em termos de funções exponenciais complexas.)
Resposta: .
(b) Como a velocidade final depende de
(Sugestão: Os cálculos algébricos serão simplificados escrevendo-se
Resposta: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que começa parada e é afetada por uma força que muda com o tempo, dada por
. O objetivo aqui é descobrir como a velocidade final dessa partícula depende dos parâmetros
e
. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra envolvendo funções exponenciais complexas, o que vai facilitar nossa vida na hora de integrar a força.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função cosseno em termos de números complexos. Sabemos que:
Isso ajuda a simplificar a integração depois.
Passo 3
Agora, substituímos essa expressão na força:
Então, temos:
Passo 4
Para achar a velocidade, a gente integra a força em relação ao tempo. Vamos fazer isso para cada termo separadamente. A velocidade é dada por:
Considerando
para simplificar, temos:
Passo 5
Vamos resolver a integral. Por exemplo, para o primeiro termo:
Similarmente para o segundo termo:
Passo 6
Aplicando os limites de integração de 0 a infinito (já que queremos a velocidade final), e assumindo que
para garantir que as integrais convirjam, temos:
Como
tende a zero quando
vai para infinito, os termos com
desaparecem, ficando:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão combinando os termos:
Perceba que
não aparece nessa expressão, o que sugere que a velocidade final não depende de
. No entanto, voltando à expressão inicial, a fase
está incorporada nas integrais e, na verdade, afeta as componentes de fase das integrais, mas na velocidade final, que é uma quantidade real, essas fases acabam se cancelando, deixando a dependência apenas em
e
.
Resposta
A velocidade final da partícula é dada por:
Portanto, a velocidade final não depende de
e depende inversamente de
. Ou seja, mudanças em
não afetam a velocidade final, enquanto um aumento em
diminui a velocidade final.
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