Uma partícula inicialmente em repouso está sujeita, começando em t=0, a uma força F(t)=F0 e^(-gamma t) cos (omega t+theta).
(b) Como a velocidade final depende de theta e de omega ?
(Sugestão: Os cálculos algébricos serão simplificados escrevendo-se cos (omega t+theta) em termos de funções exponenciais complexas.)
Resposta: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que começa parada e é afetada por uma força que muda com o tempo, dada por . O objetivo aqui é descobrir como a velocidade final dessa partícula depende dos parâmetros e . Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra envolvendo funções exponenciais complexas, o que vai facilitar nossa vida na hora de integrar a força.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função cosseno em termos de números complexos. Sabemos que:
cos(omega t + theta) = e^i(omega t + theta) + e^-i(omega t + theta)2
Isso ajuda a simplificar a integração depois.

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na força:
F(t) = F0 e^-gamma t cdot e^i(omega t + theta) + e^-i(omega t + theta)2
Então, temos:
F(t) = F02 e^-gamma t e^i(omega t + theta) + F02 e^-gamma t e^-i(omega t + theta)

Passo 4

Para achar a velocidade, a gente integra a força em relação ao tempo. Vamos fazer isso para cada termo separadamente. A velocidade é dada por:
v(t) = 1m integral0^t F(t') dt'
Considerando v(t) = F02 integral0^t e^-gamma t' e^i(omega t' + theta) dt' + F02 integral0^t e^-gamma t' e^-i(omega t' + theta) dt' para simplificar, temos:

Passo 5

Vamos resolver a integral. Por exemplo, para o primeiro termo:
integral e^-gamma t' e^iomega t' dt' = integral e^(-gamma + iomega)t' dt' = e^(-gamma + iomega)t'-gamma + iomega + C
Similarmente para o segundo termo:
integral e^-gamma t' e^-iomega t' dt' = e^(-gamma - iomega)t'-gamma - iomega + C

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 0 a infinito (já que queremos a velocidade final), e assumindo que v(infty) = F02 ( e^(-gamma + iomega)infty-gamma + iomega - 1-gamma + iomega ) + F02 ( e^(-gamma - iomega)infty-gamma - iomega - 1-gamma - iomega ) para garantir que as integrais convirjam, temos:
v(infty) = F02 ( 1gamma - iomega ) + F02 ( 1gamma + iomega )
Como tende a zero quando vai para infinito, os termos com desaparecem, ficando:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão combinando os termos:
v(infty) = F02 ( gamma + iomega + gamma - iomegagamma^2 + omega^2 ) = F0 gammagamma^2 + omega^2
Perceba que não aparece nessa expressão, o que sugere que a velocidade final não depende de . No entanto, voltando à expressão inicial, a fase está incorporada nas integrais e, na verdade, afeta as componentes de fase das integrais, mas na velocidade final, que é uma quantidade real, essas fases acabam se cancelando, deixando a dependência apenas em e .

Resposta

A velocidade final da partícula é dada por:
v(infty) = F0 gammagamma^2 + omega^2
Portanto, a velocidade final não depende de e depende inversamente de . Ou seja, mudanças em não afetam a velocidade final, enquanto um aumento em diminui a velocidade final.

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