Uma partícula inicialmente em repouso está sujeita, começando em , a uma força .
(b) Como a velocidade final depende de e de ?
(Sugestão: Os cálculos algébricos serão simplificados escrevendo-se em termos de funções exponenciais complexas.)
Resposta: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que começa parada e é afetada por uma força que muda com o tempo, dada por . O objetivo aqui é descobrir como a velocidade final dessa partícula depende dos parâmetros e . Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra envolvendo funções exponenciais complexas, o que vai facilitar nossa vida na hora de integrar a força.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função cosseno em termos de números complexos. Sabemos que:
Isso ajuda a simplificar a integração depois.

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na força:
Então, temos:

Passo 4

Para achar a velocidade, a gente integra a força em relação ao tempo. Vamos fazer isso para cada termo separadamente. A velocidade é dada por:
Considerando para simplificar, temos:

Passo 5

Vamos resolver a integral. Por exemplo, para o primeiro termo:
Similarmente para o segundo termo:

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 0 a infinito (já que queremos a velocidade final), e assumindo que para garantir que as integrais convirjam, temos:
Como tende a zero quando vai para infinito, os termos com desaparecem, ficando:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão combinando os termos:
Perceba que não aparece nessa expressão, o que sugere que a velocidade final não depende de . No entanto, voltando à expressão inicial, a fase está incorporada nas integrais e, na verdade, afeta as componentes de fase das integrais, mas na velocidade final, que é uma quantidade real, essas fases acabam se cancelando, deixando a dependência apenas em e .

Resposta

A velocidade final da partícula é dada por:
Portanto, a velocidade final não depende de e depende inversamente de . Ou seja, mudanças em não afetam a velocidade final, enquanto um aumento em diminui a velocidade final.

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