Um único objeto de massa
está dependurado em duas molas de constantes
e
mantidas em posição vertical. Mostre que a frequência angular de oscilação é
se as molas forem ligadas em paralelo e
se as molas forem ligadas em série.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto com massa
pendurado em duas molas com constantes
e
. A pergunta é para descobrir a frequência angular das oscilações desse sistema quando as molas estão ligadas de duas maneiras diferentes: em paralelo e em série. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimentos oscilatórios e como combinar constantes de molas dependendo de como elas estão conectadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa frequência angular. Ela é uma medida de quão rápido o objeto está oscilando e é representada por
. A fórmula geral para a frequência angular de um sistema massa-mola é:
Aqui,
é a constante efetiva da mola e
é a massa do objeto.
Passo 3
Agora, vamos ver como combinar as constantes das molas dependendo de como elas estão conectadas. Quando as molas estão ligadas em paralelo, a constante efetiva
é a soma das constantes individuais:
Isso acontece porque as molas trabalham juntas para suportar a massa.
Passo 4
Usando essa constante efetiva no caso das molas em paralelo, a frequência angular fica:
Essa é a primeira parte da resposta que a gente precisa mostrar.
Passo 5
Agora, vamos considerar as molas ligadas em série. Nesse caso, a constante efetiva
é calculada de forma diferente:
Resolvendo para
, temos:
Isso ocorre porque as molas em série estendem-se uma após a outra, fazendo com que a resistência ao alongamento seja menor.
Passo 6
Com a constante efetiva para molas em série, substituímos na fórmula da frequência angular:
Essa é a segunda parte da resposta que a gente precisa demonstrar.
Resposta
A frequência angular das oscilações é:
-
Para molas ligadas em paralelo:
-
Para molas ligadas em série: