Um único objeto de massa m está dependurado em duas molas de constantes k1 e k2 mantidas em posição vertical. Mostre que a frequência angular de oscilação é
raizk1+k2m
se as molas forem ligadas em paralelo e
raizk1 k2(k1+k2) m
se as molas forem ligadas em série.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto com massa pendurado em duas molas com constantes e . A pergunta é para descobrir a frequência angular das oscilações desse sistema quando as molas estão ligadas de duas maneiras diferentes: em paralelo e em série. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimentos oscilatórios e como combinar constantes de molas dependendo de como elas estão conectadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa frequência angular. Ela é uma medida de quão rápido o objeto está oscilando e é representada por omega = raizkm . A fórmula geral para a frequência angular de um sistema massa-mola é:
Aqui, é a constante efetiva da mola e é a massa do objeto.

Passo 3

Agora, vamos ver como combinar as constantes das molas dependendo de como elas estão conectadas. Quando as molas estão ligadas em paralelo, a constante efetiva keq = k1 + k2 é a soma das constantes individuais:
Isso acontece porque as molas trabalham juntas para suportar a massa.

Passo 4

Usando essa constante efetiva no caso das molas em paralelo, a frequência angular fica:
omegapara<=lo = raizk1 + k2m
Essa é a primeira parte da resposta que a gente precisa mostrar.

Passo 5

Agora, vamos considerar as molas ligadas em série. Nesse caso, a constante efetiva 1keq = 1k1 + 1k2 é calculada de forma diferente:
keq = k1 k2k1 + k2
Resolvendo para , temos:
Isso ocorre porque as molas em série estendem-se uma após a outra, fazendo com que a resistência ao alongamento seja menor.

Passo 6

Com a constante efetiva para molas em série, substituímos na fórmula da frequência angular:
omegaserie = raizk1 k2k1 + k2m = raizk1 k2(k1 + k2) m
Essa é a segunda parte da resposta que a gente precisa demonstrar.

Resposta

A frequência angular das oscilações é:
  • Para molas ligadas em paralelo:
    omega = raizk1+k2m
  • Para molas ligadas em série:
    omega = raizk1 k2(k1+k2) m

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