Uma particula de massa move-se de acordo com uma força dependente do tempo ( em unidade de segundo) dada por 12 tk (com unidade de Newton). Assumindo que em a particula está localizada cm (com unidade de metro) e tem velocidade , ache (f) Encontre o trabalho realizado pela força no movimento da particula do ponto onde ao ponto onde .

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula com massa de 2 kg que está sendo empurrada por uma força que muda com o tempo. A força é dada por em Newtons. No tempo inicial, segundos, a posição da partícula é metros e a velocidade inicial é metros por segundo. A gente precisa encontrar o trabalho que essa força realiza quando a partícula se move do tempo segundo até segundos.
Vamos precisar usar conceitos de trabalho, força e movimento com aceleração variável. Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho é dado pela integral da força em relação ao deslocamento. Matematicamente, isso é:
Como a força depende do tempo, a gente pode reescrever isso em termos de tempo:
onde é a velocidade da partícula no tempo .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a velocidade . Sabemos que a força está relacionada à aceleração pela segunda lei de Newton:
Então, a aceleração é:

Passo 4

A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Para encontrar , integramos a aceleração:
Vamos integrar cada componente:
Para :
Para :
Para :
Então, a velocidade fica:
Substituindo :

Passo 5

Agora que temos , vamos calcular o produto escalar :
Vamos multiplicar cada termo:
Para a componente :
Para a componente :
Para a componente :

Passo 6

Agora, vamos somar todos esses termos:
Vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termo :
  • Termo :
  • Termo :
  • Termo :
  • Termo constante:
Então:

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão de a para encontrar o trabalho:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos calcular isso em e e achar a diferença:
Para :
Para :
Então, o trabalho é:

Resposta

O trabalho realizado pela força no movimento da partícula de segundo a segundos é de 2700 Joules.

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Uma particula de massa move-se de acordo com uma força dependente do tempo ( em unidade de segundo) dada por 12 tk (com unidade de Newton). Assumindo que em a particula está localizada cm (com unidade de metro) e tem velocidade , ache (d) Ache a variação da energia cinética da particula de a .
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