Uma particula de massa
move-se de acordo com uma força dependente do tempo
(
em unidade de segundo) dada por
12 tk (com unidade de Newton). Assumindo que em
a particula está localizada cm
(com unidade de metro) e tem velocidade
, ache (f) Encontre o trabalho realizado pela força no movimento da particula do ponto onde
ao ponto onde
.
Passo 1
Então, a gente tem uma partícula com massa de 2 kg que está sendo empurrada por uma força que muda com o tempo. A força é dada por
em Newtons. No tempo inicial,
segundos, a posição da partícula é
metros e a velocidade inicial é
metros por segundo. A gente precisa encontrar o trabalho que essa força realiza quando a partícula se move do tempo
segundo até
segundos.
Vamos precisar usar conceitos de trabalho, força e movimento com aceleração variável. Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho é dado pela integral da força em relação ao deslocamento. Matematicamente, isso é:
Como a força depende do tempo, a gente pode reescrever isso em termos de tempo:
onde
é a velocidade da partícula no tempo
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a velocidade
. Sabemos que a força está relacionada à aceleração pela segunda lei de Newton:
Então, a aceleração é:
Passo 4
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Para encontrar
, integramos a aceleração:
Vamos integrar cada componente:
Para
:
Para
:
Para
:
Então, a velocidade fica:
Substituindo
:
Passo 5
Agora que temos
, vamos calcular o produto escalar
:
Vamos multiplicar cada termo:
Para a componente
:
Para a componente
:
Para a componente
:
Passo 6
Agora, vamos somar todos esses termos:
Vamos combinar os termos semelhantes:
- Termo
: - Termo
: - Termo
: - Termo
: - Termo constante:
Então:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
para encontrar o trabalho:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos calcular isso em
e
e achar a diferença:
Para
:
Para
:
Então, o trabalho é:
Resposta
O trabalho realizado pela força no movimento da partícula de
segundo a
segundos é de 2700 Joules.
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Uma particula de massa
move-se de acordo com uma força dependente do tempo
(
em unidade de segundo) dada por
12 tk (com unidade de Newton). Assumindo que em
a particula está localizada cm
(com unidade de metro) e tem velocidade
, ache (e) Encontre a variaçào de momento
da particula de
s a
, onde
é o momento da partícula.
Uma particula de massa
move-se de acordo com uma força dependente do tempo
(
em unidade de segundo) dada por
12 tk (com unidade de Newton). Assumindo que em
a particula está localizada cm
(com unidade de metro) e tem velocidade
, ache (d) Ache a variação da energia cinética da particula de
a
.