Uma particula de massa m=2 Kg move-se de acordo com uma força dependente do tempo t ( t em unidade de segundo) dada por F(t)=24 t^2 i+(36 t-16) jmath- 12 tk (com unidade de Newton). Assumindo que em t=0 s a particula está localizada cm r0=3 imath-jmath+4 k (com unidade de metro) e tem velocidade v0=6 imath+15 jmath-8 k, ache (f) Encontre o trabalho realizado pela força no movimento da particula do ponto onde t=1 s ao ponto onde t=2 s.

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula com massa de 2 kg que está sendo empurrada por uma força que muda com o tempo. A força é dada por F(t) = 24 t^2 i + (36 t - 16) j - 12 t k em Newtons. No tempo inicial, t=0 segundos, a posição da partícula é r0 = 3 i - j + 4 k metros e a velocidade inicial é v0 = 6 i + 15 j - 8 k metros por segundo. A gente precisa encontrar o trabalho que essa força realiza quando a partícula se move do tempo t=1 segundo até t=2 segundos.
Vamos precisar usar conceitos de trabalho, força e movimento com aceleração variável. Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho é dado pela integral da força em relação ao deslocamento. Matematicamente, isso é:
W = integralC F cdot dr
Como a força depende do tempo, a gente pode reescrever isso em termos de tempo:
W = integralt1^t2 F(t) cdot v(t) , dt
onde v(t) é a velocidade da partícula no tempo t.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a velocidade v(t). Sabemos que a força está relacionada à aceleração pela segunda lei de Newton:
F(t) = m cdot a(t)
Então, a aceleração é:
a(t) = F(t)m = 24 t^2 i + (36 t - 16) j - 12 t k2 = 12 t^2 i + (18 t - 8) j - 6 t k

Passo 4

A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Para encontrar v(t), integramos a aceleração:
v(t) = v0 + integral0^t a(tau) , dtau
Vamos integrar cada componente:
Para i:
integral 12 tau^2 dtau = 4 tau^3
Para j:
integral (18 tau - 8) dtau = 9 tau^2 - 8 tau
Para k:
integral -6 tau dtau = -3 tau^2
Então, a velocidade fica:
v(t) = v0 + 4 t^3 i + (9 t^2 - 8 t) j - 3 t^2 k
Substituindo v0 = 6 i + 15 j - 8 k:
v(t) = (6 + 4 t^3) i + (15 + 9 t^2 - 8 t) j + (-8 - 3 t^2) k

Passo 5

Agora que temos v(t), vamos calcular o produto escalar F(t) cdot v(t):
F(t) cdot v(t) = (24 t^2)(6 + 4 t^3) + (36 t - 16)(15 + 9 t^2 - 8 t) + (-12 t)(-8 - 3 t^2)
Vamos multiplicar cada termo:
Para a componente i:
24 t^2 cdot 6 = 144 t^2
24 t^2 cdot 4 t^3 = 96 t^5
Para a componente j:
36 t cdot 15 = 540 t
36 t cdot 9 t^2 = 324 t^3
36 t cdot (-8 t) = -288 t^2
-16 cdot 15 = -240
-16 cdot 9 t^2 = -144 t^2
-16 cdot (-8 t) = 128 t
Para a componente k:
-12 t cdot (-8) = 96 t
-12 t cdot (-3 t^2) = 36 t^3

Passo 6

Agora, vamos somar todos esses termos:
F(t) cdot v(t) = 144 t^2 + 96 t^5 + 540 t + 324 t^3 - 288 t^2 - 240 - 144 t^2 + 128 t + 96 t + 36 t^3
Vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termo t^5: 96 t^5
  • Termo t^3: 324 t^3 + 36 t^3 = 360 t^3
  • Termo t^2: 144 t^2 - 288 t^2 - 144 t^2 = -288 t^2
  • Termo t: 540 t + 128 t + 96 t = 764 t
  • Termo constante: -240
Então:
F(t) cdot v(t) = 96 t^5 + 360 t^3 - 288 t^2 + 764 t - 240

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão de t=1 a t=2 para encontrar o trabalho:
W = integral1^2 (96 t^5 + 360 t^3 - 288 t^2 + 764 t - 240) , dt
Vamos integrar termo a termo:
integral 96 t^5 dt = 96 cdot t^66 = 16 t^6
integral 360 t^3 dt = 360 cdot t^44 = 90 t^4
integral -288 t^2 dt = -288 cdot t^33 = -96 t^3
integral 764 t dt = 764 cdot t^22 = 382 t^2
integral -240 dt = -240 t
Então, a integral fica:
W = [16 t^6 + 90 t^4 - 96 t^3 + 382 t^2 - 240 t ]1^2

Passo 8

Vamos calcular isso em t=2 e t=1 e achar a diferença:
Para t=2:
16 (2)^6 + 90 (2)^4 - 96 (2)^3 + 382 (2)^2 - 240 (2) = 16 cdot 64 + 90 cdot 16 - 96 cdot 8 + 382 cdot 4 - 480 = 1024 + 1440 - 768 + 1528 - 480 = 2852
Para t=1:
16 (1)^6 + 90 (1)^4 - 96 (1)^3 + 382 (1)^2 - 240 (1) = 16 + 90 - 96 + 382 - 240 = 152
Então, o trabalho é:
W = 2852 - 152 = 2700 J

Resposta

O trabalho realizado pela força no movimento da partícula de t=1 segundo a t=2 segundos é de 2700 Joules.

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