Uma particula de massa m=2 Kg move-se de acordo com uma força dependente do tempo t ( t em unidade de segundo) dada por F(t)=24 t^2 i+(36 t-16) jmath- 12 tk (com unidade de Newton). Assumindo que em t=0 s a particula está localizada cm r0=3 imath-jmath+4 k (com unidade de metro) e tem velocidade v0=6 imath+15 jmath-8 k, ache (d) Ache a variação da energia cinética da particula de t=1 s a t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa de 2 kg que está sendo influenciada por uma força que muda com o tempo. No começo, em t = 0 segundos, a partícula está em uma posição específica e tem uma velocidade inicial. O que precisamos encontrar é a variação da energia cinética dessa partícula entre t = 1 segundo e t = 2 segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força, aceleração, velocidade e energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força está relacionada à aceleração pela segunda lei de Newton: F = m * a, onde F é a força, m é a massa e a é a aceleração. Podemos rearranjar essa fórmula para encontrar a aceleração:
a(t) = F(t)m

Passo 3

Vamos calcular a aceleração da partícula em função do tempo substituindo a força e a massa na fórmula acima. Dada a força:
F(t) = 24 t^2 i + (36 t - 16) j - 12 t k
E a massa:
m = 2 , kg
Portanto, a aceleração é:
a(t) = 24 t^22 i + 36 t - 162 j - 12 t2 k = 12 t^2 i + (18 t - 8) j - 6 t k

Passo 4

Agora, para encontrar a velocidade em função do tempo, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A velocidade é a integral da aceleração:
v(t) = v0 + integral0^t a(tau) , dtau
Onde v₀ é a velocidade inicial:
v0 = 6 i + 15 j - 8 k , m/s

Passo 5

Vamos integrar cada componente da aceleração:
  • Para a componente i:
integral 12 tau^2 , dtau = 4 tau^3
  • Para a componente j:
integral (18 tau - 8) , dtau = 9 tau^2 - 8 tau
  • Para a componente k:
integral -6 tau , dtau = -3 tau^2
Portanto, a velocidade em função do tempo é:
v(t) = (6 + 4 t^3) i + (15 + 9 t^2 - 8 t) j + (-8 - 3 t^2) k

Passo 6

Agora que temos a velocidade em função do tempo, podemos calcular a energia cinética em t = 1 s e t = 2 s. A energia cinética é dada por:
K = 12 m |v(t)|^2
Onde é a magnitude da velocidade.

Passo 7

Vamos calcular a velocidade nos instantes t = 1 s e t = 2 s usando a equação da velocidade:
  • Para t = 1 s:
v(1) = (6 + 4 cdot 1^3) i + (15 + 9 cdot 1^2 - 8 cdot 1) j + (-8 - 3 cdot 1^2) k = 10 i + 16 j - 11 k , m/s
  • Para t = 2 s:
v(2) = (6 + 4 cdot 2^3) i + (15 + 9 cdot 2^2 - 8 cdot 2) j + (-8 - 3 cdot 2^2) k = 38 i + 31 j - 20 k , m/s

Passo 8

Agora, vamos calcular a energia cinética em cada tempo:
  • Para t = 1 s:
K(1) = 12 cdot 2 cdot (10^2 + 16^2 + (-11)^2) = (100 + 256 + 121) = 477 , J
  • Para t = 2 s:
K(2) = 12 cdot 2 cdot (38^2 + 31^2 + (-20)^2) = (1444 + 961 + 400) = 2805 , J

Passo 9

A variação da energia cinética é a diferença entre a energia em t = 2 s e t = 1 s:
De

Resposta

A variação da energia cinética da partícula de t = 1 s a t = 2 s é de 2328 joules.

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