Uma particula de massa
move-se de acordo com uma força dependente do tempo
(
em unidade de segundo) dada por
12 tk (com unidade de Newton). Assumindo que em
a particula está localizada cm
(com unidade de metro) e tem velocidade
, ache (d) Ache a variação da energia cinética da particula de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa de 2 kg que está sendo influenciada por uma força que muda com o tempo. No começo, em t = 0 segundos, a partícula está em uma posição específica e tem uma velocidade inicial. O que precisamos encontrar é a variação da energia cinética dessa partícula entre t = 1 segundo e t = 2 segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força, aceleração, velocidade e energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força está relacionada à aceleração pela segunda lei de Newton: F = m * a, onde F é a força, m é a massa e a é a aceleração. Podemos rearranjar essa fórmula para encontrar a aceleração:
Passo 3
Vamos calcular a aceleração da partícula em função do tempo substituindo a força e a massa na fórmula acima. Dada a força:
E a massa:
Portanto, a aceleração é:
Passo 4
Agora, para encontrar a velocidade em função do tempo, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A velocidade é a integral da aceleração:
Onde v₀ é a velocidade inicial:
Passo 5
Vamos integrar cada componente da aceleração:
- Para a componente i:
- Para a componente j:
- Para a componente k:
Portanto, a velocidade em função do tempo é:
Passo 6
Agora que temos a velocidade em função do tempo, podemos calcular a energia cinética em t = 1 s e t = 2 s. A energia cinética é dada por:
Onde
é a magnitude da velocidade.
Passo 7
Vamos calcular a velocidade nos instantes t = 1 s e t = 2 s usando a equação da velocidade:
- Para t = 1 s:
- Para t = 2 s:
Passo 8
Agora, vamos calcular a energia cinética em cada tempo:
- Para t = 1 s:
- Para t = 2 s:
Passo 9
A variação da energia cinética é a diferença entre a energia em t = 2 s e t = 1 s:
Resposta
A variação da energia cinética da partícula de t = 1 s a t = 2 s é de 2328 joules.