Uma partícula de massa
e carga
está em um campo magnético constante e uniforme. Escolhe-se o eixo
na direção do campo, de forma que
, onde
é uma constante. b) Considerando
, o movimento ocorrerá inteiramente no plano
. Mostre qua a partícula move-se num círculo de raio
em que
é a velocidade da luz e
a velocidade da partícula.
Passo 1
Então, a gente tem uma partícula com massa
e carga
que está se movendo em um campo magnético constante e uniforme. O campo magnético está na direção do eixo
, ou seja,
. Além disso, a componente da velocidade da partícula na direção
é zero (
), o que significa que a partícula se move apenas no plano
. A gente precisa mostrar que essa partícula vai se mover em um círculo com raio
onde
é a velocidade da luz e
é a velocidade da partícula. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força magnética e movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a força que atua sobre a partícula. Quando uma carga
se move com velocidade
em um campo magnético
, ela experiencia uma força chamada força de Lorentz, que é dada por:
Essa força é perpendicular tanto à velocidade quanto ao campo magnético. Como a partícula está se movendo no plano
e o campo está na direção
, a força vai atuar no plano
também, fazendo com que a partícula se mova em um caminho curvo.
Passo 3
Agora, vamos analisar o movimento da partícula. Como a força de Lorentz é sempre perpendicular à velocidade, ela não faz a partícula acelerar ou desacelerar, apenas muda a direção da velocidade. Isso significa que a partícula vai se mover em um círculo, porque a força está agindo como uma força centrípeta, que é necessária para manter o movimento circular.
Passo 4
Para um movimento circular, a força centrípeta necessária para manter a partícula em trajetória circular é dada por:
onde
é a massa da partícula,
é a velocidade e
é o raio da trajetória circular.
Passo 5
Igualando a força de Lorentz à força centrípeta, temos:
Aqui,
é a magnitude da força de Lorentz no sistema de unidades que estamos usando. Para resolver a equação para
, vamos reorganizar os termos.
Passo 6
Isolando
na equação:
Mas parece que estamos faltando o fator
, a velocidade da luz. Isso acontece porque, dependendo do sistema de unidades que usamos, a força de Lorentz pode incluir o fator
. Em unidades onde
aparece explicitamente, a força de Lorentz é:
Então, voltando à equação original com esse fator:
Passo 7
Agora, resolvendo para
:
Portanto, mostramos que o raio da trajetória circular é:
Resposta
A partícula se move em um círculo de raio