Uma partícula de massa m e carga q está em um campo magnético constante e uniforme. Escolhe-se o eixo z na direção do campo, de forma que B(r, t)=B z, onde B é uma constante. b) Considerando vz=0, o movimento ocorrerá inteiramente no plano x y. Mostre qua a partícula move-se num círculo de raio
r=c m vq B
em que c é a velocidade da luz e v a velocidade da partícula.

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula com massa r = c m vq B e carga que está se movendo em um campo magnético constante e uniforme. O campo magnético está na direção do eixo , ou seja, . Além disso, a componente da velocidade da partícula na direção é zero ( ), o que significa que a partícula se move apenas no plano . A gente precisa mostrar que essa partícula vai se mover em um círculo com raio
onde é a velocidade da luz e é a velocidade da partícula. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força magnética e movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a força que atua sobre a partícula. Quando uma carga F = q , (v times B) se move com velocidade em um campo magnético , ela experiencia uma força chamada força de Lorentz, que é dada por:
Essa força é perpendicular tanto à velocidade quanto ao campo magnético. Como a partícula está se movendo no plano e o campo está na direção , a força vai atuar no plano também, fazendo com que a partícula se mova em um caminho curvo.

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento da partícula. Como a força de Lorentz é sempre perpendicular à velocidade, ela não faz a partícula acelerar ou desacelerar, apenas muda a direção da velocidade. Isso significa que a partícula vai se mover em um círculo, porque a força está agindo como uma força centrípeta, que é necessária para manter o movimento circular.

Passo 4

Para um movimento circular, a força centrípeta necessária para manter a partícula em trajetória circular é dada por:
Fcentrípeta = m v^2r í
onde é a massa da partícula, é a velocidade e é o raio da trajetória circular.

Passo 5

Igualando a força de Lorentz à força centrípeta, temos:
q v B = m v^2r
Aqui, é a magnitude da força de Lorentz no sistema de unidades que estamos usando. Para resolver a equação para , vamos reorganizar os termos.

Passo 6

Isolando r = m vq B na equação:
F = q v Bc
Mas parece que estamos faltando o fator q v Bc = m v^2r , a velocidade da luz. Isso acontece porque, dependendo do sistema de unidades que usamos, a força de Lorentz pode incluir o fator . Em unidades onde aparece explicitamente, a força de Lorentz é:
Então, voltando à equação original com esse fator:

Passo 7

Agora, resolvendo para r = m v cq B :
r = c m vq B
Portanto, mostramos que o raio da trajetória circular é:

Resposta

A partícula se move em um círculo de raio
r = c m vq B

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