Uma partícula de massa
move-se sob a ação de uma força central com energia potencial
$$
V=k r^{4}$$
com
e momento angular
.
c) Obtenha a relação entre
e
para que a órbita seja circular.
com
c) Obtenha a relação entre
Passo 1
Então, galera! Temos uma partícula com massa
que está se movendo sob a ação de uma força central. A energia potencial dessa força é dada por
, onde
, e a partícula tem um momento angular
. Nosso objetivo aqui é encontrar a relação entre a energia total
e o momento angular
para que a órbita da partícula seja circular. Vamos usar conceitos de mecânica clássica, especialmente relacionados a forças centrais e energia em sistemas orbitais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que, para uma órbita circular, a força centrípeta que mantém a partícula na órbita deve ser igual à força derivada da energia potencial. A força centrípeta é dada por
, onde
é a velocidade da partícula.
Passo 3
Sabemos que o momento angular
está relacionado à velocidade pela equação
. Podemos resolver essa equação para
:
Passo 4
Substituindo
na expressão da força centrípeta:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a força derivada da energia potencial
. A força é o negativo do gradiente da energia potencial:
Como estamos falando de força centrípeta, consideramos apenas o módulo, então:
Passo 6
Para a órbita ser circular, as duas forças devem ser iguais:
Vamos resolver essa equação para relacionar
e
.
Passo 7
Simplificando a equação:
Então,
Tomando a raiz sexta de ambos os lados:
Passo 8
Agora, vamos expressar a energia total
. A energia total é a soma da energia cinética
e da energia potencial
:
A energia cinética
é dada por:
A energia potencial já temos:
Portanto:
Passo 9
Substituindo o valor de
que encontramos no Passo 7 na expressão para
:
Simplificando:
Simplificando os expoentes e constantes, encontramos uma relação direta entre
e
.
Resposta
A relação entre a energia total
e o momento angular
para que a órbita seja circular é dada por: