Uma partícula de massa m move-se sob a ação de uma força central com energia potencial
$$
V=k r^{4}$$
com V=k r^4 e momento angular k>0.
c) Obtenha a relação entre L e E para que a órbita seja circular.

Passo 1

Então, galera! Temos uma partícula com massa que está se movendo sob a ação de uma força central. A energia potencial dessa força é dada por , onde , e a partícula tem um momento angular . Nosso objetivo aqui é encontrar a relação entre a energia total e o momento angular para que a órbita da partícula seja circular. Vamos usar conceitos de mecânica clássica, especialmente relacionados a forças centrais e energia em sistemas orbitais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que, para uma órbita circular, a força centrípeta que mantém a partícula na órbita deve ser igual à força derivada da energia potencial. A força centrípeta é dada por , onde é a velocidade da partícula.

Passo 3

Sabemos que o momento angular v = Lm r está relacionado à velocidade pela equação . Podemos resolver essa equação para :

Passo 4

Substituindo Fc = m ( Lm r )^2r = L^2m r^3 na expressão da força centrípeta:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a força derivada da energia potencial F = -dVdr = -ddr ( k r^4 ) = -4 k r^3 . A força é o negativo do gradiente da energia potencial:
F = 4 k r^3
Como estamos falando de força centrípeta, consideramos apenas o módulo, então:

Passo 6

Para a órbita ser circular, as duas forças devem ser iguais:
L^2m r^3 = 4 k r^3
Vamos resolver essa equação para relacionar e .

Passo 7

Simplificando a equação:
L^2m = 4 k r^6
Então,
r^6 = L^24 k m
Tomando a raiz sexta de ambos os lados:
r = ( L^24 k m )^16

Passo 8

Agora, vamos expressar a energia total E = T + V . A energia total é a soma da energia cinética T = 12 m v^2 = 12 m ( Lm r )^2 = L^22 m r^2 e da energia potencial V = k r^4 :
E = L^22 m r^2 + k r^4
A energia cinética é dada por:
A energia potencial já temos:
Portanto:

Passo 9

Substituindo o valor de E = L^22 m ( L^24 k m )^13 + k ( L^24 k m )^23 que encontramos no Passo 7 na expressão para E = L^22 m ( 4 k mL^2 )^13 + k ( L^24 k m )^23 :
E = 12 (4 k m)^13 L^23 + k (L^2)^23 (4 k m)^-23
Simplificando:
E = 12 (4 k m)^13 L^23 + 14^23 k^1 - 23 m^-23 L^43
Simplificando os expoentes e constantes, encontramos uma relação direta entre e .

Resposta

A relação entre a energia total E = 32 ( L^2 k4 m )^13 e o momento angular para que a órbita seja circular é dada por:

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