Uma partícula de massa m e carga -q(q>0) penetra com velocidade inicial v=vx x+vy y(vx, vy>0) em uma região de campo magnético uniforme B=B y(B>0). Determine o passo da hélice, isto é, a distância percorrida ao longo do eixo da hélice durante um período de revolução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa m e carga -q que entra numa região com um campo magnético uniforme B = B, y. A velocidade inicial dela é v = vx, x + vy, y, ou seja, tem componentes nas direções x e y. O que a gente precisa descobrir é o “passo da hélice”, que é a distância que a partícula percorre ao longo do eixo da hélice durante um período de revolução. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento de partículas em campos magnéticos e entender como a trajetória helicoidal é formada.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade da partícula em duas partes: uma que é paralela ao campo magnético e outra que é perpendicular a ele. Isso é importante porque o movimento paralelo não é afetado pelo campo, enquanto o movimento perpendicular sofre uma força que faz a partícula se mover em círculo.
A velocidade inicial é v = vx, x + vy, y. O campo magnético está na direção y, então a componente da velocidade paralela ao campo é vy, y, e a componente perpendicular é vx, x.

Passo 3

Agora, vamos calcular o período de revolução da partícula no movimento circular perpendicular ao campo magnético. A força magnética que age na partícula é dada por:
F = q, v times B
Como a carga é -q, a força será na direção oposta. A magnitude dessa força, que é a força centrípeta que mantém a partícula em movimento circular, é:
F = q, vperp, B = m, vperp^2r
Onde vperp = vx e r é o raio da trajetória circular. Resolvendo para F = m, omega^2, r, sabemos que a frequência angular omega é:
omega = q, Bm
O período T é o tempo para uma revolução completa, então:
T = 2piomega = 2pi mq B

Passo 4

Agora que temos o período, vamos calcular a distância percorrida ao longo do eixo da hélice durante esse tempo. Como a componente da velocidade paralela ao campo é vy, a distância percorrida nesse sentido durante um período T é:
d = vy times T = vy times 2pi mq B
Esse d é o passo da hélice, ou seja, a distância que a partícula avança no eixo da hélice a cada revolução completa.

Resposta

O passo da hélice é dado por:
d = 2pi m vyq B

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