Uma partícula de massa e carga penetra com velocidade inicial em uma região de campo magnético uniforme . Determine o raio e o período de revolução do movimento circular da partícula no plano perpendicular ao eixo da hélice.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa e carga (onde ) que entra com uma velocidade inicial em uma região onde há um campo magnético uniforme (com ). Queremos descobrir duas coisas:
  1. O raio da trajetória circular da partícula no plano perpendicular ao eixo da hélice.
  2. O período de revolução dessa trajetória.
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de força magnética sobre partículas carregadas e movimento circular uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma partícula carregada que se move em um campo magnético sofre uma força magnética, que é dada pela fórmula:
Essa força é perpendicular tanto à velocidade da partícula quanto ao campo magnético, o que faz com que a partícula se mova em uma trajetória curva.

Passo 3

Vamos analisar as componentes da velocidade da partícula em relação ao campo magnético. O campo magnético está na direção , então vamos separar a velocidade em componentes paralela e perpendicular ao campo.
  • Componente paralela ao campo ( ): é a parte da velocidade na mesma direção do campo magnético, ou seja, .
  • Componente perpendicular ao campo ( ): é a parte da velocidade que está na direção perpendicular ao campo magnético, ou seja, .
A componente paralela não será afetada pelo campo magnético e continuará se movendo na direção . Já a componente perpendicular sofrerá a força magnética e fará com que a partícula descreva um movimento circular nessa direção.

Passo 4

Agora, vamos calcular o raio da trajetória circular causada pela componente perpendicular da velocidade. A força magnética que age na partícula proporciona a força centrípeta necessária para o movimento circular. A força centrípeta é dada por:
í
Igualando à força magnética:
Podemos simplificar essa equação para encontrar o raio :
Substituindo :

Passo 5

Vamos agora determinar o período de revolução da partícula nessa trajetória circular. O período é o tempo que a partícula leva para completar uma volta completa na trajetória circular.
Sabemos que a velocidade tangencial está relacionada ao raio e ao período pela fórmula:
Substituindo o valor de que encontramos:
Simplificando para encontrar :

Resposta

O raio da trajetória circular é e o período de revolução é .

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