Uma partícula de massa M decai em duas de massas m1 e m2. Para o caso particular de um píon decaindo num múon e num neutrino, encontre as energias de repouso, total e cinética do múon. Considere a massa do neutrino igual a zero.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente sabe que uma partícula de massa (nesse caso, um píon) decai em duas partículas menores: um múon de massa e um neutrino de massa . Nosso objetivo é encontrar as energias de repouso, total e cinética do múon. Para isso, vamos precisar entender um pouco de conservação de energia e momento, além de usar as fórmulas da energia relativística.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia de repouso de uma partícula é dada por Erepouso = mmu c^2 , onde é a massa da partícula e é a velocidade da luz. Então, para o múon:

Passo 3

Agora, como o píon está em repouso antes da decadência, toda a energia do sistema está na energia de repouso do píon:
Epíon = M c^2 í
Quando o píon decai, essa energia se divide entre o múon e o neutrino. Como o neutrino tem massa zero, sua energia total é igual à sua energia cinética:
Enu = p c

Passo 4

Pela conservação do momento, os momentos do múon e do neutrino são iguais e opostos:
pmu = pnu
Isso significa que a energia do múon será:
Emu = raiz(p c)^2 + (mmu c^2)^2

Passo 5

Usando a conservação da energia, temos:
M c^2 = Emu + Enu
Substituindo M c^2 = raiz(p c)^2 + (mmu c^2)^2 + p c e pelas expressões que achamos:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para M c^2 - p c = raiz(p c)^2 + (mmu c^2)^2 . Isolando o termo com raiz:
(M c^2 - p c)^2 = (p c)^2 + (mmu c^2)^2
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
M^2 c^4 - 2 M c^3 p + p^2 c^2 = p^2 c^2 + mmu^2 c^4
Expandindo o lado esquerdo:
M^2 c^4 - 2 M c^3 p = mmu^2 c^4
Cancelando 2 M c^3 p = M^2 c^4 - mmu^2 c^4 dos dois lados:
p = M^2 - mmu^22 M c
Resolvendo para :

Passo 7

Agora que temos Emu = raiz(p c)^2 + (mmu c^2)^2 , podemos encontrar a energia total do múon:
Emu = raiz( M^2 - mmu^22 M c^2 )^2 + (mmu c^2)^2
Substituindo Emu = M^2 + mmu^22 M c^2 :
Simplificando a expressão:

Passo 8

A energia cinética do múon é a diferença entre a energia total e a energia de repouso:
Kmu = Emu - Erepouso
Substituindo as expressões:
Kmu = M^2 + mmu^22 M c^2 - mmu c^2
Kmu = M^2 - mmu^22 M c^2

Resposta

As energias do múon são:
  • Energia de repouso:
  • Energia total:
  • Energia cinética:

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