Uma partícula de massa decai em duas de massas e . Para o caso particular de um píon decaindo num múon e num neutrino, encontre as energias de repouso, total e cinética do múon. Considere a massa do neutrino igual a zero.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente sabe que uma partícula de massa (nesse caso, um píon) decai em duas partículas menores: um múon de massa e um neutrino de massa . Nosso objetivo é encontrar as energias de repouso, total e cinética do múon. Para isso, vamos precisar entender um pouco de conservação de energia e momento, além de usar as fórmulas da energia relativística.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia de repouso de uma partícula é dada por , onde é a massa da partícula e é a velocidade da luz. Então, para o múon:
Passo 3
Agora, como o píon está em repouso antes da decadência, toda a energia do sistema está na energia de repouso do píon:
Quando o píon decai, essa energia se divide entre o múon e o neutrino. Como o neutrino tem massa zero, sua energia total é igual à sua energia cinética:
Passo 4
Pela conservação do momento, os momentos do múon e do neutrino são iguais e opostos:
Isso significa que a energia do múon será:
Passo 5
Usando a conservação da energia, temos:
Substituindo e pelas expressões que achamos:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para . Isolando o termo com raiz:
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
Expandindo o lado esquerdo:
Cancelando dos dois lados:
Resolvendo para :
Passo 7
Agora que temos , podemos encontrar a energia total do múon:
Substituindo :
Simplificando a expressão:
Passo 8
A energia cinética do múon é a diferença entre a energia total e a energia de repouso: