Considerando a energia total relativística de uma partícula, , onde é a energia de repouso, é a energia cinética, é o fator de Lorentz, é a massa da partícula e cé a velocidade da luz, encontre a velocidade de um elétron, em termos da velocidade da luz, quando a energia cinética do elétron for de: e 100 GeV .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a velocidade de um elétron em termos da velocidade da luz quando a energia cinética dele for , e . Estamos trabalhando com a energia total relativística, que envolve conceitos da relatividade especial. Para resolver isso, vamos precisar entender as relações entre energia cinética, energia de repouso e a velocidade da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da energia total relativística:
Onde:
  • é a energia de repouso,
  • é a energia cinética,
  • é o fator de Lorentz,
  • é a massa do elétron,
  • é a velocidade da luz.
Nosso objetivo é encontrar em termos de para diferentes valores de .

Passo 3

Vamos isolar o fator de Lorentz na equação da energia total:
Então,

Passo 4

Sabendo que , podemos igualar as duas expressões para :
Agora, vamos resolver essa equação para .

Passo 5

Primeiro, vamos inverter ambos os lados para facilitar:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isolando :
Finalmente, tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 6

Agora, precisamos dos valores específicos para cada caso. Primeiro, vamos lembrar a massa de repouso do elétron:
Vamos calcular para cada :
  1. Para :
Então,
Ou seja, .
  1. Para :
Então,
Ou seja, .
  1. Para :
Então,
Ou seja, .

Resposta

A velocidade do elétron em termos da velocidade da luz para cada energia cinética é:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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