Considerando a energia total relativística de uma partícula, E0+Ec i n=gamma m c^2, onde E0 é a energia de repouso, E cin é a energia cinética, gamma é o fator de Lorentz, m é a massa da partícula e cé a velocidade da luz, encontre a velocidade de um elétron, em termos da velocidade da luz, quando a energia cinética do elétron for de: 1 MeV, 1 GeV e 100 GeV .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a velocidade de um elétron em termos da velocidade da luz quando a energia cinética dele for , e . Estamos trabalhando com a energia total relativística, que envolve conceitos da relatividade especial. Para resolver isso, vamos precisar entender as relações entre energia cinética, energia de repouso e a velocidade da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da energia total relativística:
E = E0 + Ecin = gamma m c^2
Onde:
  • é a energia de repouso,
  • é a energia cinética,
  • é o fator de Lorentz,
  • é a massa do elétron,
  • é a velocidade da luz.
Nosso objetivo é encontrar em termos de para diferentes valores de .

Passo 3

Vamos isolar o fator de Lorentz E = gamma m c^2 = E0 + Ecin = m c^2 + Ecin na equação da energia total:
gamma = 1 + Ecinm c^2
Então,

Passo 4

Sabendo que 1 + Ecinm c^2 = 1raiz1 - v^2c^2 , podemos igualar as duas expressões para :
Agora, vamos resolver essa equação para .

Passo 5

Primeiro, vamos inverter ambos os lados para facilitar:
raiz1 - v^2c^2 = 11 + Ecinm c^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
1 - v^2c^2 = (11 + Ecinm c^2)^2
Isolando v^2c^2 = 1 - (11 + Ecinm c^2)^2 :
vc = raiz1 - (11 + Ecinm c^2)^2
Finalmente, tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 6

Agora, precisamos dos valores específicos para cada caso. Primeiro, vamos lembrar a massa de repouso do elétron:
m = 0,511 , MeV/c^2
Vamos calcular Ecinm c^2 = 1 , MeV0,511 , MeV approx 1,957 para cada vc = raiz1 - (11 + 1,957)^2 = raiz1 - (12,957)^2 approx raiz1 - 0,1144 approx raiz0,8856 approx 0,941 :
  1. Para Ecinm c^2 = 1000 , MeV0,511 , MeV approx 1956,93 :
vc = raiz1 - (11 + 1956,93)^2 approx raiz1 - (11957,93)^2 approx raiz1 - 2,61 times 10^-7 approx 0,99999987 , c
Então,
Ecinm c^2 = 100000 , MeV0,511 , MeV approx 195692,87
Ou seja, vc = raiz1 - (11 + 195692,87)^2 approx raiz1 - (1195693,87)^2 approx raiz1 - 2,62 times 10^-11 approx 0,99999999999 , c .
  1. Para :
Então,
Ou seja, .
  1. Para :
Então,
Ou seja, .

Resposta

A velocidade do elétron em termos da velocidade da luz para cada energia cinética é:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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