Considere um disco uniforme de raio R=30 cm e massa M=2,0 kg que gira a uma taxa de omega=30 rpm. Calcule a energia cinética de rotação do disco quando ele gira: a) em torno do eixo que passa pelo seu centro; b) em torno de um eixo que dista dois terços do centro. Em ambos os casos, os eixos são perpendiculares à superfície do disco de raio R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco uniforme que está girando, e queremos calcular a energia cinética dessa rotação em dois casos: quando gira em torno do seu próprio eixo e quando gira em torno de um eixo que está a dois terços do raio do centro. Para isso, vamos precisar entender sobre energia cinética rotacional e como calcular o momento de inércia do disco em diferentes eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade angular de rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (rad/s), porque as fórmulas que vamos usar trabalham com essa unidade. Sabemos que:
1 rpm = 2pi60 rad/s
Então, para omega = 30 times 2pi60 = pi rad/s :

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética de rotação usando a fórmula:
K = 12 I omega^2
Onde:
  • é a energia cinética rotacional,
  • é o momento de inércia,
  • é a velocidade angular.
Primeiro, vamos calcular para o eixo que passa pelo centro do disco.

Passo 4

Para um disco uniforme girando em torno do seu próprio eixo, o momento de inércia é:
Icentro = 12 M R^2
Onde:
  • Icentro = 12 times 2,0 times (0,30)^2 = 12 times 2,0 times 0,09 = 0,09 kg·m^2 é a massa do disco,
  • é o raio do disco (convertendo de cm para m).
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, usamos o momento de inércia para calcular a energia cinética quando gira em torno do eixo central:
Kcentro = 12 times 0,09 times (pi)^2
Calculando:
Kcentro = 0,045 times pi^2 approx 0,045 times 9,8696 approx 0,445 J

Passo 6

Agora, vamos para o segundo caso: calcular a energia cinética quando o disco gira em torno de um eixo que está a dois terços do raio do centro. Para isso, usamos o Teorema dos Eixos Paralelos, que nos diz que:
I = Icentro + M d^2
Onde d = 23 times 0,30 = 0,20 m é a distância entre os dois eixos. Aqui, I = 0,09 + 2,0 times (0,20)^2 = 0,09 + 2,0 times 0,04 = 0,09 + 0,08 = 0,17 kg·m^2 :
Então:

Passo 7

Com o novo momento de inércia, calculamos a energia cinética:
K = 12 times 0,17 times (pi)^2
Calculando:
K = 0,085 times pi^2 approx 0,085 times 9,8696 approx 0,840 J

Resposta

A energia cinética de rotação do disco é:
a) Aproximadamente quando gira em torno do eixo central;
b) Aproximadamente quando gira em torno de um eixo que dista dois terços do centro.

Exercícios relacionados