Considere um disco uniforme de raio
e massa
que gira a uma taxa de
rpm. Calcule a energia cinética de rotação do disco quando ele gira: a) em torno do eixo que passa pelo seu centro; b) em torno de um eixo que dista dois terços do centro. Em ambos os casos, os eixos são perpendiculares à superfície do disco de raio
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco uniforme que está girando, e queremos calcular a energia cinética dessa rotação em dois casos: quando gira em torno do seu próprio eixo e quando gira em torno de um eixo que está a dois terços do raio do centro. Para isso, vamos precisar entender sobre energia cinética rotacional e como calcular o momento de inércia do disco em diferentes eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a velocidade angular de rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (rad/s), porque as fórmulas que vamos usar trabalham com essa unidade. Sabemos que:
Então, para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética de rotação usando a fórmula:
Onde:
-
é a energia cinética rotacional, -
é o momento de inércia, -
é a velocidade angular.
Primeiro, vamos calcular para o eixo que passa pelo centro do disco.
Passo 4
Para um disco uniforme girando em torno do seu próprio eixo, o momento de inércia é:
Onde:
-
é a massa do disco, -
é o raio do disco (convertendo de cm para m).
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, usamos o momento de inércia para calcular a energia cinética quando gira em torno do eixo central:
Calculando:
Passo 6
Agora, vamos para o segundo caso: calcular a energia cinética quando o disco gira em torno de um eixo que está a dois terços do raio do centro. Para isso, usamos o Teorema dos Eixos Paralelos, que nos diz que:
Onde
é a distância entre os dois eixos. Aqui,
:
Então:
Passo 7
Com o novo momento de inércia, calculamos a energia cinética:
Calculando:
Resposta
A energia cinética de rotação do disco é:
a) Aproximadamente quando gira em torno do eixo central;
b) Aproximadamente quando gira em torno de um eixo que dista dois terços do centro.
a) Aproximadamente
b) Aproximadamente