Uma partícula de massa m desloca-se com velocidade constante (em módulo) v ao longo de um círculo de raio r, partindo no instante t=0 de um ponto P localizado sobre o círculo.
c) Verifique que d Lpd t=Np.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala que uma partícula de massa m está se movendo com velocidade constante v ao longo de um círculo de raio r, começando no ponto P quando t=0. O conteúdo que vamos usar aqui é o de dinâmica rotacional, especificamente envolvendo momento angular ( Lp) e torque ( Np). Nosso objetivo é mostrar que a derivada do momento angular em relação ao tempo é igual ao torque aplicado: d Lpd t = Np.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento angular em relação a um ponto P. O momento angular Lp é dado por:
Lp = r times p
Onde:
  • r é o vetor posição da partícula em relação ao ponto P.
  • p é o momento linear da partícula, que é mv.
Como a velocidade é constante e a partícula está se movendo em um círculo, o vetor posição muda de direção, mas a magnitude permanece r.

Passo 3

Agora, vamos derivar o momento angular em relação ao tempo:
d Lpdt = ddt (r times mv) = r times mdvdt + drdt times mv
Sabemos que a aceleraç��o dvdt é a aceleração centrípeta, que aponta para o centro do círculo:
dvdt = -v^2r r
Onde r é o vetor unitário radial. Além disso, drdt = v.

Passo 4

Substituindo essas expressões na derivada do momento angular:
d Lpdt = r times m(-v^2r r) + v times mv
O primeiro termo simplifica para:
m (-v^2r) (r times r) = 0
Porque r e r são colineares, e o produto vetorial de vetores colineares é zero.
O segundo termo, v times mv, também é zero porque o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é sempre zero.

Passo 5

Então, temos:
d Lpdt = 0 + 0 = 0
Agora, vamos ver o torque Np. O torque é dado por:
Np = r times F
Onde F é a força resultante atuando na partícula. Neste caso, a única força é a força centrípeta:
F = mv^2r (-r)
Portanto,
Np = r times m(-v^2r r) = 0
Pois, novamente, r e r são colineares.

Resposta

Concluímos que d Lpd t = 0 e Np = 0, portanto d Lpd t = Np.

Exercícios relacionados