Uma partícula de massa
desloca-se com velocidade constante (em módulo)
ao longo de um círculo de raio
, partindo no instante
de um ponto
localizado sobre o círculo.
c) Verifique que
.
c) Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala que uma partícula de massa
está se movendo com velocidade constante
ao longo de um círculo de raio
, começando no ponto
quando
. O conteúdo que vamos usar aqui é o de dinâmica rotacional, especificamente envolvendo momento angular (
) e torque (
). Nosso objetivo é mostrar que a derivada do momento angular em relação ao tempo é igual ao torque aplicado:
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento angular em relação a um ponto
. O momento angular
é dado por:
Onde:
-
é o vetor posição da partícula em relação ao ponto . -
é o momento linear da partícula, que é .
Como a velocidade é constante e a partícula está se movendo em um círculo, o vetor posição muda de direção, mas a magnitude permanece
.
Passo 3
Agora, vamos derivar o momento angular em relação ao tempo:
Sabemos que a acelera�o
é a aceleração centrípeta, que aponta para o centro do círculo:
Onde
é o vetor unitário radial. Além disso,
.
Passo 4
Substituindo essas expressões na derivada do momento angular:
O primeiro termo simplifica para:
Porque
e
são colineares, e o produto vetorial de vetores colineares é zero.
O segundo termo,
, também é zero porque o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é sempre zero.
Passo 5
Então, temos:
Agora, vamos ver o torque
. O torque é dado por:
Onde
é a força resultante atuando na partícula. Neste caso, a única força é a força centrípeta:
Portanto,
Pois, novamente,
e
são colineares.
Resposta
Concluímos que
e
, portanto
.