Uma partícula de massa m=2 kg está inicialmente em repouso na posição x0=0 m. Sabendo-se que ela está submetida a uma força F(x)=a+2 b x+3 c x^2 e que ela tem velocidade v=3 m / s quando atinge a posição x=1 m, podemos concluir que a soma dos coeficientes a+b+c é numericamente igual a
a) 7,5 ,
b) 8
c) 8,5
d) 9
e) n.d.a.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física que envolve força, movimento e energia. Temos uma partícula de massa m = 2,kg inicialmente parada na posição x0 = 0,m. Ela é submetida a uma força F(x) = a + 2b,x + 3c,x^2 e atinge a velocidade v = 3,m/s quando está na posição x = 1,m. Nosso objetivo é encontrar a soma dos coeficientes a + b + c.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a Lei de Newton que relaciona força, massa e aceleração:
F = m cdot a
onde F é a força, m é a massa e a é a aceleração.

Passo 3

Como a aceleração a é a derivada da velocidade em relação ao tempo, e a força depende da posição x, uma abordagem mais adequada é usar o Teorema do Trabalho e Energia. Esse teorema nos diz que o trabalho total realizado pela força é igual à variação da energia cinética da partícula:
W = De
onde v0 é a velocidade inicial (que é 0,m/s).

Passo 4

Calculamos a energia cinética final:
K = 12 times 2,kg times (3,m/s)^2 = 12 times 2 times 9 = 9,J
A energia cinética inicial é zero, pois a partícula estava em repouso.

Passo 5

Agora, calculamos o trabalho realizado pela força de x = 0,m a x = 1,m:
W = integral0^1 F(x),dx = integral0^1 (a + 2b,x + 3c,x^2),dx

Passo 6

Resolvemos a integral:
W = [ a,x + b,x^2 + c,x^3 ]0^1 = a(1) + b(1)^2 + c(1)^3 - 0 = a + b + c

Passo 7

Igualamos o trabalho ao aumento da energia cinética:
a + b + c = 9,J

Resposta

A soma dos coeficientes a + b + c é igual a 9.

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