Um pião gira no solo com uma aceleração angular alpha=5 t^3-4 t. Em t=0, o pião tem velocidade angular 5 rad / s e a sua linha de referência está na posição theta=2 rad. Qual a posição angular do pião em função do tempo?
a) t^54-2 t^33+5 t+2,
b) t^54-3 t^35+5 t-2
c) t^55-t^33+5 t+2
d) t^55+t^22+5 t+2 e) t^22+5 t+2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um pião que está girando e sua aceleração angular é dada por alpha = 5 t^3 - 4 t. No tempo inicial ( t=0), a velocidade angular é 5 , rad/s e a posição angular é theta = 2 , rad. A gente precisa encontrar a posição angular theta(t) em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, lembre que a aceleração angular alpha(t) é a derivada da velocidade angular omega(t) em relação ao tempo:
alpha(t) = domegadt
Então, para encontrar omega(t), vamos integrar a aceleração angular em relação ao tempo.

Passo 3

Integrando alpha(t):
omega(t) = integral alpha(t) , dt = integral (5 t^3 - 4 t) , dt = 54 t^4 - 2 t^2 + C1
Aqui, C1 é a constante de integração que encontramos usando a condição inicial da velocidade angular.

Passo 4

Sabemos que em t=0, omega(0) = 5 , rad/s. Vamos substituir esses valores para encontrar C1:
5 = 54 (0)^4 - 2 (0)^2 + C1 Rightarrow C1 = 5
Então, a expressão para omega(t) fica:
omega(t) = 54 t^4 - 2 t^2 + 5

Passo 5

Agora, para achar a posição angular theta(t), vamos integrar omega(t) em relação ao tempo:
theta(t) = integral omega(t) , dt = integral (54 t^4 - 2 t^2 + 5) dt = 520 t^5 - 23 t^3 + 5 t + C2
Simplificando:
theta(t) = t^54 - 2 t^33 + 5 t + C2

Passo 6

Usamos a condição inicial da posição angular para encontrar C2. Sabemos que em t=0, theta(0) = 2 , rad:
2 = (0)^54 - 2 (0)^33 + 5 (0) + C2 Rightarrow C2 = 2
Portanto, a expressão final para a posição angular é:
theta(t) = t^54 - 2 t^33 + 5 t + 2

Resposta

A posição angular do pião em função do tempo é t^54 - 2 t^33 + 5 t + 2. Portanto, a alternativa correta é a a).

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