Uma partícula de massa move-se de acordo com as equações . Determine o momento angular em qualquer instante . Determine a força e, a partir dela, determine o torque sobre a partícula. Verifique que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar o momento angular de uma partícula em qualquer instante , determinar a força que atua sobre ela, calcular o torque , e verificar se a derivada do momento angular em relação ao tempo é igual ao torque (). Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, como posição, velocidade, momento linear, momento angular, força e torque.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a posição da partícula em função do tempo. As equações são:
Essas funções nos dão a posição da partícula em qualquer instante .
Passo 3
Para encontrar o momento angular , precisamos da posição e do momento linear . O momento linear é dado por:
onde é a massa e é a velocidade da partícula. Primeiro, vamos achar derivando em relação ao tempo.
Passo 4
Calculando a velocidade :
Derivando cada componente:
Então,
Passo 5
Agora, encontramos o momento linear :
Passo 6
O momento angular é dado pelo produto vetorial entre a posição e o momento linear :
Vamos calcular esse produto vetorial.
Passo 7
Expressando e :
Agora, o produto vetorial:
Passo 8
Calculando o determinante:
L = i ( b t^3 cdot m c - c t cdot 3b m t^2 ) - j ( (x0 + a t^2) cdot m c - c t cdot 2a m t ) + k ( (x0 + a t^2) cdot 3b m t^2 - b t^3 cdot 2a m t )
Simplificando cada componente:
L = i (b m c t^3 - 3b m c t^3) - j (x0 m c + a m c t^2 - 2a m c t^2) + k (3b m t^2 x0 + 3a b m t^4 - 2a b m t^4)
L = i (-2b m c t^3) - j (x0 m c - a m c t^2) + k (3b m x0 t^2 + a b m t^4)
Passo 9
Portanto, o momento angular L = (-2b m c t^3), i - (x0 m c - a m c t^2), j + (3b m x0 t^2 + a b m t^4), k é:
Passo 10
Agora, vamos encontrar a força F = dpdt que atua sobre a partícula. Pela segunda lei de Newton:
Vamos derivar em relação ao tempo.
Passo 11
Calculando a derivada de F = ddt [m (2a t, , 3b t^2, , c)] = m (2a, , 6b t, , 0) :
F = (2a m) , i + (6b m t) , j + 0 , k
Então,
Passo 12
A força F = 2a m , i + 6b m t , j que atua na partícula é:
Passo 13
Agora, vamos calcular o torque N = r times F sobre a partícula. O torque é dado por:
Vamos realizar esse produto vetorial.
Passo 14
Usando r = (x0 + a t^2, , b t^3, , c t) e F = (2a m, , 6b m t, , 0) :
N = i & j & k x0 + a t^2 & b t^3 & c t 2a m & 6b m t & 0
O produto vetorial é:
Passo 15
Calculando o determinante:
N = i (b t^3 cdot 0 - c t cdot 6b m t) - j ((x0 + a t^2) cdot 0 - c t cdot 2a m) + k ((x0 + a t^2) cdot 6b m t - b t^3 cdot 2a m)
Simplificando:
N = i (-6b m c t^2) - j (-2a m c t) + k (6b m x0 t + 6a b m t^3 - 2a b m t^3)
N = -6b m c t^2 , i + 2a m c t , j + (6b m x0 t + 4a b m t^3) , k
Passo 16
Portanto, o torque N = -6b m c t^2 , i + 2a m c t , j + (6b m x0 t + 4a b m t^3) , k é:
Passo 17
Por fim, vamos verificar se L = (-2b m c t^3), i - (x0 m c - a m c t^2), j + (3b m x0 t^2 + a b m t^4), k . Vamos derivar d Ldt = (-6b m c t^2), i - (-2a m c t), j + (6b m x0 t + 4a b m t^3), k em relação ao tempo:
d Ldt = -6b m c t^2 , i + 2a m c t , j + (6b m x0 t + 4a b m t^3) , k
Derivando cada componente:
Simplificando:
Que é exatamente o torque que encontramos.
Resposta
O momento angular da partícula em qualquer instante L = (-2b m c t^3), i - (x0 m c - a m c t^2), j + (3b m x0 t^2 + a b m t^4), k é
F = 2a m , i + 6b m t , j
A força que atua sobre a partícula é
N = -6b m c t^2 , i + 2a m c t , j + (6b m x0 t + 4a b m t^3) , k
O torque sobre a partícula é
d Ldt = N
E verificamos que a derivada do momento angular em relação ao tempo é igual ao torque: