Uma partícula de massa m move-se de acordo com as equações x=x0+a t^2, y=b t^3 e z=c t. Determine o momento angular L em qualquer instante t. Determine a força F e, a partir dela, determine o torque N sobre a partícula. Verifique que d Ld t=N.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar o momento angular de uma partícula em qualquer instante , determinar a força que atua sobre ela, calcular o torque , e verificar se a derivada do momento angular em relação ao tempo é igual ao torque ( ). Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, como posição, velocidade, momento linear, momento angular, força e torque.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a posição da partícula em função do tempo. As equações são:
x = x0 + a t^2, y = b t^3, z = c t
Essas funções nos dão a posição da partícula em qualquer instante .

Passo 3

Para encontrar o momento angular p = m v , precisamos da posição e do momento linear . O momento linear é dado por:
onde é a massa e é a velocidade da partícula. Primeiro, vamos achar derivando em relação ao tempo.

Passo 4

Calculando a velocidade v = drdt = ( dxdt, dydt, dzdt ) :
dxdt = 2a t, dydt = 3b t^2, dzdt = c
Derivando cada componente:
v = (2a t, , 3b t^2, , c)
Então,

Passo 5

Agora, encontramos o momento linear p = m v = m (2a t, , 3b t^2, , c) :

Passo 6

O momento angular L = r times p é dado pelo produto vetorial entre a posição e o momento linear :
Vamos calcular esse produto vetorial.

Passo 7

Expressando r = (x0 + a t^2, , b t^3, , c t) e p = m (2a t, , 3b t^2, , c) :
L = i & j & k x0 + a t^2 & b t^3 & c t 2a m t & 3b m t^2 & m c
Agora, o produto vetorial:

Passo 8

Calculando o determinante:
L = i ( b t^3 cdot m c - c t cdot 3b m t^2 ) - j ( (x0 + a t^2) cdot m c - c t cdot 2a m t ) + k ( (x0 + a t^2) cdot 3b m t^2 - b t^3 cdot 2a m t )
Simplificando cada componente:
L = i (b m c t^3 - 3b m c t^3) - j (x0 m c + a m c t^2 - 2a m c t^2) + k (3b m t^2 x0 + 3a b m t^4 - 2a b m t^4)
L = i (-2b m c t^3) - j (x0 m c - a m c t^2) + k (3b m x0 t^2 + a b m t^4)

Passo 9

Portanto, o momento angular L = (-2b m c t^3), i - (x0 m c - a m c t^2), j + (3b m x0 t^2 + a b m t^4), k é:

Passo 10

Agora, vamos encontrar a força F = dpdt que atua sobre a partícula. Pela segunda lei de Newton:
Vamos derivar em relação ao tempo.

Passo 11

Calculando a derivada de F = ddt [m (2a t, , 3b t^2, , c)] = m (2a, , 6b t, , 0) :
F = (2a m) , i + (6b m t) , j + 0 , k
Então,

Passo 12

A força F = 2a m , i + 6b m t , j que atua na partícula é:

Passo 13

Agora, vamos calcular o torque N = r times F sobre a partícula. O torque é dado por:
Vamos realizar esse produto vetorial.

Passo 14

Usando r = (x0 + a t^2, , b t^3, , c t) e F = (2a m, , 6b m t, , 0) :
N = i & j & k x0 + a t^2 & b t^3 & c t 2a m & 6b m t & 0
O produto vetorial é:

Passo 15

Calculando o determinante:
N = i (b t^3 cdot 0 - c t cdot 6b m t) - j ((x0 + a t^2) cdot 0 - c t cdot 2a m) + k ((x0 + a t^2) cdot 6b m t - b t^3 cdot 2a m)
Simplificando:
N = i (-6b m c t^2) - j (-2a m c t) + k (6b m x0 t + 6a b m t^3 - 2a b m t^3)
N = -6b m c t^2 , i + 2a m c t , j + (6b m x0 t + 4a b m t^3) , k

Passo 16

Portanto, o torque N = -6b m c t^2 , i + 2a m c t , j + (6b m x0 t + 4a b m t^3) , k é:

Passo 17

Por fim, vamos verificar se L = (-2b m c t^3), i - (x0 m c - a m c t^2), j + (3b m x0 t^2 + a b m t^4), k . Vamos derivar d Ldt = (-6b m c t^2), i - (-2a m c t), j + (6b m x0 t + 4a b m t^3), k em relação ao tempo:
d Ldt = -6b m c t^2 , i + 2a m c t , j + (6b m x0 t + 4a b m t^3) , k
Derivando cada componente:
Simplificando:
Que é exatamente o torque que encontramos.

Resposta

O momento angular da partícula em qualquer instante L = (-2b m c t^3), i - (x0 m c - a m c t^2), j + (3b m x0 t^2 + a b m t^4), k é
F = 2a m , i + 6b m t , j
A força que atua sobre a partícula é
N = -6b m c t^2 , i + 2a m c t , j + (6b m x0 t + 4a b m t^3) , k
O torque sobre a partícula é
d Ldt = N
E verificamos que a derivada do momento angular em relação ao tempo é igual ao torque:

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