Uma partícula é atraída em direção ao eixo
por uma força proporcional ao quadrado de sua distância ao plano
e inversamente proporcional à sua distância ao eixo
. Em coordenadas cilíndricas,
. Some uma força adicional perpendicular a
de forma a tornar conservativa a força total
. Determine a energia potencial.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma força
que atua sobre uma partícula em coordenadas cilíndricas. Essa força é dirigida na direção radial (
) e depende das coordenadas
e
. O conteúdo principal aqui envolve forças conservativas e energia potencial. Para resolver o exercício, vamos precisar entender como adicionar uma força perpendicular à
de modo que a força resultante seja conservativa e, então, determinar a energia potencial associada.
Passo 2
Uma força é dita conservativa se o trabalho realizado por ela ao longo de um caminho fechado é zero. Em termos matemáticos, uma força
é conservativa se existir uma função escalar
tal que
. Para que a força total
seja conservativa, ela deve satisfazer essa condição.
Passo 3
Atualmente, temos apenas a componente radial da força,
. Precisamos adicionar uma força adicional
que seja perpendicular a
(ou seja, na direção
) de forma que a força total
seja conservativa.
Passo 4
Para que
seja conservativa, ela deve satisfazer a condição de que o rotacional de
seja zero:
Em coordenadas cilíndricas, o rotacional de
é dado por:
Como não temos componentes em
na força atual, simplificamos para:
Para que o rotacional seja zero, cada componente deve ser igual a zero.
Passo 5
Vamos aplicar as condições de rotacional zero:
- Componente
:
Isso significa que
não depende de
.
- Componente
:
Para que isso seja igual a zero, a componente
deve compensar essa derivada.
- Componente
:
Esta expressão também deve ser igual a zero.
Passo 6
Vamos resolver as equações obtidas:
-
Da componente
, já sabemos que não depende de . -
Da componente
, temos:
Para a força ser conservativa, precisamos que a componente
cancele essa contribuição. Portanto, definimos:
- Da componente
:
Isso confirma que nossa escolha para
satisfaz a condição de rotacional zero.
Passo 7
Agora que temos a força total conservativa:
Podemos determinar a energia potencial
tal que:
Em coordenadas cilíndricas, o gradiente de
é:
Passo 8
Igualando as componentes:
A última equação indica que
não depende de
, mas isso contradiz a primeira equação. Isso sugere que precisamos reconsiderar a abordagem.
Passo 9
Vamos tentar integrar a primeira equação para encontrar
:
Integrando em relação a
:
Agora, usamos a segunda equação:
Integrando em relação a
:
Finalmente, substituímos de volta na expressão de
:
A terceira equação nos dá:
Resolvendo para
:
Isso implica que
depende de
e
, mas para simplificar, podemos considerar
como constante, já que não há dependência direta.
Passo 10
Portanto, a energia potencial é:
Podemos ignorar a constante, então temos:
Resposta
A energia potencial é dada por: