Uma partícula de massa m move-se no plano x y; assim, o vetor posição é,
r=a cos omega t x+b sen omega t y
onde a, b e omega são constantes positiva e a>b. (a) Mostre que a particula move em uma elipse (Figura 2). (b) Mostre que a força atuante na partícula é sempre dirigida para a origem. © Ache a energia cinética da particula nos pontos A e B. (d) Ache o trabalho realizado pelo campo de força em mover a partícula de A para B. (e) Prove que esse trabalho é igual à variação da energia cinética. (f) Mostre que o trabalho total realizado, feito pelo campo de força ao mover a partícula, ao longo da elipse, é zero.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! A questão fala sobre o movimento de uma partícula no plano com a posição dada por , onde , e são constantes positivas e . Estamos lidando com cinemática e dinâmica de partículas, então vamos precisar usar conceitos de vetores, forças, energia cinética e trabalho. Vamos lá!

Passo 2

(a) Mostrar que a partícula se move em uma elipse.
Primeiro, vamos entender a posição da partícula:
Queremos eliminar o tempo x = a cos omega t y = b sen omega t para encontrar a relação entre cos^2 omega t + sen^2 omega t = 1 e ( xa )^2 + ( yb )^2 = cos^2 omega t + sen^2 omega t = 1 . Sabemos que:
Dividindo por e por :
Essa é a equação padrão de uma elipse com semieixos e . Portanto, a partícula realmente se move em uma elipse.

Passo 3

(b) Mostrar que a força atuante na partícula é sempre dirigida para a origem.
Para isso, vamos encontrar a aceleração da partícula. Sabemos que:
A velocidade é a derivada da posição:
A aceleração é a derivada da velocidade:
Usando a segunda lei de Newton ( r = a cos omega t x + b sen omega t y ):
A força v = drdt = -a omega sen omega t x + b omega cos omega t y é proporcional a a = dvdt = -a omega^2 cos omega t x - b omega^2 sen omega t y , ou seja, sempre aponta para a origem. Então, a força atuante está sempre direcionada para a origem.

Passo 4

© Achar a energia cinética da partícula nos pontos A e B.
A energia cinética ( Ec = 12 m v^2 ) é dada por:
v^2 = v cdot v = (-a omega sen omega t)^2 + (b omega cos omega t)^2 = a^2 omega^2 sen^2 omega t + b^2 omega^2 cos^2 omega t
Primeiro, vamos encontrar a expressão para a velocidade:
Então:
Nos pontos A e B, assumindo que são os extremos do movimento, por exemplo, Ec = 12 m omega^2 (a^2 sen^2 omega t + b^2 cos^2 omega t) e EcA = 12 m omega^2 b^2 :
  • No ponto A ( EcB = 12 m omega^2 a^2 ):
  • No ponto B ( ):

Passo 5

(d) Achar o trabalho realizado pelo campo de força em mover a partícula de A para B.
O trabalho ( W = integralA^B F cdot dr ) realizado por uma força W = -m omega^2 integralA^B r cdot dr ao longo de um deslocamento r cdot dr = x dx + y dy é:
W = 12 m omega^2 (a^2 - b^2)
Como , temos:
Calculando :
Com e , após integrar, obtemos:

Passo 6

(e) Provar que esse trabalho é igual à variação da energia cinética.
A variação da energia cinética ( De) é:
W = De
Observamos que:
Portanto, o trabalho realizado pelo campo de força é igual à variação da energia cinética.

Passo 7

(f) Mostrar que o trabalho total realizado pelo campo de força ao mover a partícula ao longo da elipse é zero.
Quando a partícula completa um percurso fechado (retorna ao ponto de partida), o trabalho total realizado pelo campo de força é:
Wtotal = oint F cdot dr
Usando Wtotal = 0 e sabendo que é uma força conservativa (pois pode ser derivada de um potencial), o trabalho em um ciclo fechado é sempre zero:
Isso ocorre porque a energia cinética retorna ao seu valor inicial após um ciclo completo, não havendo variação líquida de energia.

Resposta

Resumindo:
  • (a) A partícula se move em uma elipse.
  • (b) A força atuante está sempre direcionada para a origem.
  • © A energia cinética nos pontos A e B são e , respectivamente.
  • (d) O trabalho realizado pelo campo de força de A para B é .
  • (e) Esse trabalho é igual à variação da energia cinética.
  • (f) O trabalho total realizado ao longo da elipse é zero.

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