Uma partícula de massa
move-se no plano
; assim, o vetor posição é,
onde
e
são constantes positiva e
. (a) Mostre que a particula move em uma elipse (Figura 2). (b) Mostre que a força atuante na partícula é sempre dirigida para a origem. © Ache a energia cinética da particula nos pontos A e B. (d) Ache o trabalho realizado pelo campo de força em mover a partícula de A para B. (e) Prove que esse trabalho é igual à variação da energia cinética. (f) Mostre que o trabalho total realizado, feito pelo campo de força ao mover a partícula, ao longo da elipse, é zero.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! A questão fala sobre o movimento de uma partícula no plano
com a posição dada por , onde
,
e
são constantes positivas e
. Estamos lidando com cinemática e dinâmica de partículas, então vamos precisar usar conceitos de vetores, forças, energia cinética e trabalho. Vamos lá!
Passo 2
(a) Mostrar que a partícula se move em uma elipse.
Primeiro, vamos entender a posição da partícula:
Queremos eliminar o tempo
para encontrar a relação entre
e
. Sabemos que:
Dividindo
por
e
por
:
Essa é a equação padrão de uma elipse com semieixos
e
. Portanto, a partícula realmente se move em uma elipse.
Passo 3
(b) Mostrar que a força atuante na partícula é sempre dirigida para a origem.
Para isso, vamos encontrar a aceleração da partícula. Sabemos que:
A velocidade é a derivada da posição:
A aceleração é a derivada da velocidade:
Usando a segunda lei de Newton (
):
A força
é proporcional a
, ou seja, sempre aponta para a origem. Então, a força atuante está sempre direcionada para a origem.
Passo 4
© Achar a energia cinética da partícula nos pontos A e B.
A energia cinética (
) é dada por:
Primeiro, vamos encontrar a expressão para a velocidade:
Então:
Nos pontos A e B, assumindo que são os extremos do movimento, por exemplo,
e
:
- No ponto A (
): - No ponto B (
):
Passo 5
(d) Achar o trabalho realizado pelo campo de força em mover a partícula de A para B.
O trabalho (
) realizado por uma força
ao longo de um deslocamento
é:
Como
, temos:
Calculando
:
Com
e , após integrar, obtemos:
Passo 6
(e) Provar que esse trabalho é igual à variação da energia cinética.
A variação da energia cinética (
) é:
Observamos que:
Portanto, o trabalho realizado pelo campo de força é igual à variação da energia cinética.
Passo 7
(f) Mostrar que o trabalho total realizado pelo campo de força ao mover a partícula ao longo da elipse é zero.
Quando a partícula completa um percurso fechado (retorna ao ponto de partida), o trabalho total realizado pelo campo de força é:
Usando
e sabendo que
é uma força conservativa (pois pode ser derivada de um potencial), o trabalho em um ciclo fechado é sempre zero:
Isso ocorre porque a energia cinética retorna ao seu valor inicial após um ciclo completo, não havendo variação líquida de energia.
Resposta
Resumindo:
- (a) A partícula se move em uma elipse.
- (b) A força atuante está sempre direcionada para a origem.
- © A energia cinética nos pontos A e B são
e , respectivamente. - (d) O trabalho realizado pelo campo de força de A para B é
. - (e) Esse trabalho é igual à variação da energia cinética.
- (f) O trabalho total realizado ao longo da elipse é zero.
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(A) 10
(B) 80
© 30
(D) 160
(E) 50
Se o corpo efetua 60 voltas completas a cada meio minuto, então a força de tração exercida pelo fio, em newtons, é:(use
(A) 10
(B) 80
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, ao longo de uma trajetória
é