Prove que, se a força atuante sobre uma partícula é dada por
, então o trabalho total realizado ao mover a partícula de
a
, ao longo de uma trajetória
é
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão trata de trabalho realizado por uma força conservativa. A força está definida por
, onde
é a energia potencial. Nosso objetivo é mostrar que o trabalho
feito ao mover a partícula de
para
ao longo de um caminho
é igual a
. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior variação de
e seu módulo é a taxa de variação nessa direção. Então,
significa que a força está na direção de menor variação de
, ou seja, é uma força conservativa.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular o trabalho
realizado por uma força ao longo de um caminho. O trabalho é dado pela integral de linha:
onde
é a força e
é um elemento infinitesimal do deslocamento ao longo do caminho
.
Passo 4
Substituindo a força
pela expressão dada
, temos:
Podemos tirar o sinal negativo para fora da integral:
Passo 5
A integral
é uma integral de linha que, para uma função escalar
, é igual à diferença do valor de
nas extremidades do caminho. Isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, que diz que:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão do trabalho:
Resposta
Exercícios relacionados
Mostre que o campo de força
definido por
é um campo conservativo e encontre a energia potencial associada a essa força.
Uma partícula de massa
move-se no plano
; assim, o vetor posição é,
onde
e
são constantes positiva e
. (a) Mostre que a particula move em uma elipse (Figura 2). (b) Mostre que a força atuante na partícula é sempre dirigida para a origem. © Ache a energia cinética da particula nos pontos A e B. (d) Ache o trabalho realizado pelo campo de força em mover a partícula de A para B. (e) Prove que esse trabalho é igual à variação da energia cinética. (f) Mostre que o trabalho total realizado, feito pelo campo de força ao mover a partícula, ao longo da elipse, é zero.
Uma partícula de massa
é abandonada em repouso a uma distância
de um centro fixo de força que atraí a partícula de acordo com a lei do inverso do quadrado
Mostre que o tempo necessário para a partícula chegar à origem é:
Considere um pequeno disco, sem atrito, posto no topo de uma esfera fixa de raio
. Se o disco recebe um pequeno impulso, de modo que ele escorregue para baixo, até que altura vertical ele irá descer antes de deixar a superficie da esfera?