Prove que, se a força atuante sobre uma partícula é dada por F=-nabla U, então o trabalho total realizado ao mover a partícula de P1 a P2, ao longo de uma trajetória C é
W=integralP1^P2 F cdot d r=U(P1)-U(P2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão trata de trabalho realizado por uma força conservativa. A força está definida por , onde é a energia potencial. Nosso objetivo é mostrar que o trabalho feito ao mover a partícula de para ao longo de um caminho é igual a . Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar , denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior variação de e seu módulo é a taxa de variação nessa direção. Então, significa que a força está na direção de menor variação de , ou seja, é uma força conservativa.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o trabalho W = integralC F cdot dr realizado por uma força ao longo de um caminho. O trabalho é dado pela integral de linha:
onde é a força e é um elemento infinitesimal do deslocamento ao longo do caminho .

Passo 4

Substituindo a força W = integralC (-nabla U) cdot dr pela expressão dada W = -integralC nabla U cdot dr , temos:
Podemos tirar o sinal negativo para fora da integral:

Passo 5

A integral integralC nabla U cdot dr = U(P2) - U(P1) é uma integral de linha que, para uma função escalar , é igual à diferença do valor de nas extremidades do caminho. Isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, que diz que:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão do trabalho:
W = -[ U(P2) - U(P1) ] = U(P1) - U(P2)

Resposta

W = U(P1) - U(P2)

Exercícios relacionados

Mostre que o campo de força F definido por
F=(y^2 z^3-6 x z^2) x+2 x y z^3 y+(3 x y^2 z^2-6 x^2 z) z
é um campo conservativo e encontre a energia potencial associada a essa força.
Uma partícula de massa m move-se no plano x y; assim, o vetor posição é,
r=a cos omega t x+b sen omega t y
onde a, b e omega são constantes positiva e a>b. (a) Mostre que a particula move em uma elipse (Figura 2). (b) Mostre que a força atuante na partícula é sempre dirigida para a origem. © Ache a energia cinética da particula nos pontos A e B. (d) Ache o trabalho realizado pelo campo de força em mover a partícula de A para B. (e) Prove que esse trabalho é igual à variação da energia cinética. (f) Mostre que o trabalho total realizado, feito pelo campo de força ao mover a partícula, ao longo da elipse, é zero.
Uma partícula de massa m é abandonada em repouso a uma distância b de um centro fixo de força que atraí a partícula de acordo com a lei do inverso do quadrado
F(x)=-k x^-2
Mostre que o tempo necessário para a partícula chegar à origem é:
pi raizm b^38 k
Considere um pequeno disco, sem atrito, posto no topo de uma esfera fixa de raio R. Se o disco recebe um pequeno impulso, de modo que ele escorregue para baixo, até que altura vertical ele irá descer antes de deixar a superficie da esfera?