Mostre que o campo de força
definido por
é um campo conservativo e encontre a energia potencial associada a essa força.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo de força
definido por:
A tarefa é mostrar que esse campo é conservativo e encontrar a energia potencial associada a essa força.
Para resolver isso, precisamos saber o que é um campo conservativo e como encontrar o potencial a partir dele. Um campo de força é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Isso significa que não importa o caminho que você siga, o trabalho realizado pela força é o mesmo.
Passo 2
O primeiro passo para verificar se
é conservativo é calcular as derivadas parciais cruzadas e ver se elas satisfazem as condições de conservatividade. Em outras palavras, precisamos verificar se:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Primeiro, calculemos
e
:
Observamos que
e
, então essas duas derivadas são iguais.
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
Novamente, temos
e
, que são iguais.
Passo 5
Por fim, calculamos
e
:
Aqui também,
e
, iguais entre si.
Passo 6
Como todas as derivadas cruzadas são iguais, concluímos que o campo
é conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar cada componente para encontrar
.
Passo 7
Começaremos com
:
Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária que depende de
e
.
Passo 8
Agora, usaremos a componente
para determinar
:
Comparando com
:
Isso implica que:
Então,
não depende de
, ou seja,
.
Passo 9
Por fim, usaremos a componente
para encontrar
:
Comparando com
:
Isso implica que:
Portanto,
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A energia potencial associada ao campo de força
é:
onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Uma partícula de massa
move-se no plano
; assim, o vetor posição é,
onde
e
são constantes positiva e
. (a) Mostre que a particula move em uma elipse (Figura 2). (b) Mostre que a força atuante na partícula é sempre dirigida para a origem. © Ache a energia cinética da particula nos pontos A e B. (d) Ache o trabalho realizado pelo campo de força em mover a partícula de A para B. (e) Prove que esse trabalho é igual à variação da energia cinética. (f) Mostre que o trabalho total realizado, feito pelo campo de força ao mover a partícula, ao longo da elipse, é zero.
Um corpo de massa 500 g gira num plano horizontal em torno de um ponto fixo, preso à extremidade de um fio de 1 m de comprimento e massa desprezível.
Se o corpo efetua 60 voltas completas a cada meio minuto, então a força de tração exercida pelo fio, em newtons, é:(use )
(A) 10
(B) 80
© 30
(D) 160
(E) 50
Se o corpo efetua 60 voltas completas a cada meio minuto, então a força de tração exercida pelo fio, em newtons, é:(use
(A) 10
(B) 80
© 30
(D) 160
(E) 50
Prove que, se a força atuante sobre uma partícula é dada por
, então o trabalho total realizado ao mover a partícula de
a
, ao longo de uma trajetória
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Uma partícula de massa
é abandonada em repouso a uma distância
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Mostre que o tempo necessário para a partícula chegar à origem é: