Mostre que o campo de força F definido por
F=(y^2 z^3-6 x z^2) x+2 x y z^3 y+(3 x y^2 z^2-6 x^2 z) z
é um campo conservativo e encontre a energia potencial associada a essa força.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo de força F=(y^2 z^3-6 x z^2) x + 2 x y z^3 y + (3 x y^2 z^2-6 x^2 z) z definido por:
A tarefa é mostrar que esse campo é conservativo e encontrar a energia potencial associada a essa força.
Para resolver isso, precisamos saber o que é um campo conservativo e como encontrar o potencial a partir dele. Um campo de força é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Isso significa que não importa o caminho que você siga, o trabalho realizado pela força é o mesmo.

Passo 2

O primeiro passo para verificar se partial Fxpartial y = partial Fypartial x, partial Fxpartial z = partial Fzpartial x, e partial Fypartial z = partial Fzpartial y é conservativo é calcular as derivadas parciais cruzadas e ver se elas satisfazem as condições de conservatividade. Em outras palavras, precisamos verificar se:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Primeiro, calculemos Fx = y^2 z^3 - 6 x z^2 e partial Fxpartial y = 2 y z^3 :
Fy = 2 x y z^3
partial Fypartial x = 2 y z^3
Observamos que e , então essas duas derivadas são iguais.

Passo 4

Agora, vamos calcular partial Fxpartial z = 3 y^2 z^2 - 12 x z e Fz = 3 x y^2 z^2 - 6 x^2 z :
partial Fzpartial x = 3 y^2 z^2 - 12 x z
Novamente, temos e , que são iguais.

Passo 5

Por fim, calculamos partial Fypartial z = 6 x y z^2 e partial Fzpartial y = 6 x y z^2 :
Aqui também, e , iguais entre si.

Passo 6

Como todas as derivadas cruzadas são iguais, concluímos que o campo F = -nabla U é conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial Fx = -partial Upartial x, Fy = -partial Upartial y, Fz = -partial Upartial z tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar cada componente para encontrar .

Passo 7

Começaremos com Fx = y^2 z^3 - 6 x z^2 = -partial Upartial x :
partial Upartial x = -y^2 z^3 + 6 x z^2
U(x, y, z) = - y^2 z^3 x + 3 x^2 z^2 + g(y, z)
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária que depende de e .

Passo 8

Agora, usaremos a componente Fy = 2 x y z^3 = -partial Upartial y para determinar partial Upartial y = -2 x y z^3 = partialpartial y (- y^2 z^3 x + 3 x^2 z^2 + g(y, z)) :
partial Upartial y = -2 y z^3 x + partial gpartial y
-2 y z^3 x + partial gpartial y = -2 x y z^3
partial gpartial y = 0
Comparando com :
Isso implica que:
Então, não depende de , ou seja, .

Passo 9

Por fim, usaremos a componente Fz = 3 x y^2 z^2 - 6 x^2 z = -partial Upartial z para encontrar partial Upartial z = -3 x y^2 z^2 + 6 x^2 z + d hd z :
-3 x y^2 z^2 + 6 x^2 z + d hd z = - (3 x y^2 z^2 - 6 x^2 z)
-3 x y^2 z^2 + 6 x^2 z + d hd z = -3 x y^2 z^2 + 6 x^2 z
Comparando com d hd z = 0 :
Isso implica que:
Portanto, é uma constante, que podemos chamar de .

Resposta

A energia potencial associada ao campo de força U(x, y, z) = -y^2 z^3 x + 3 x^2 z^2 + C é:
onde é uma constante.

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