Mostre que o campo de força
definido por
é um campo conservativo e encontre a energia potencial associada a essa força.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo de força
definido por:
A tarefa é mostrar que esse campo é conservativo e encontrar a energia potencial associada a essa força.
Para resolver isso, precisamos saber o que é um campo conservativo e como encontrar o potencial a partir dele. Um campo de força é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Isso significa que não importa o caminho que você siga, o trabalho realizado pela força é o mesmo.
Passo 2
O primeiro passo para verificar se
é conservativo é calcular as derivadas parciais cruzadas e ver se elas satisfazem as condições de conservatividade. Em outras palavras, precisamos verificar se:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Primeiro, calculemos
e
:
Observamos que
e
, então essas duas derivadas são iguais.
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
Novamente, temos
e
, que são iguais.
Passo 5
Por fim, calculamos
e
:
Aqui também,
e
, iguais entre si.
Passo 6
Como todas as derivadas cruzadas são iguais, concluímos que o campo
é conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar cada componente para encontrar
.
Passo 7
Começaremos com
:
Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária que depende de
e
.
Passo 8
Agora, usaremos a componente
para determinar
:
Comparando com
:
Isso implica que:
Então,
não depende de
, ou seja,
.
Passo 9
Por fim, usaremos a componente
para encontrar
:
Comparando com
:
Isso implica que:
Portanto,
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A energia potencial associada ao campo de força
é:
onde
é uma constante.