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Uma partícula de massa m está presa numa órbita circular sob a ação do potencial V(r)= V0(ra)^k, com V0, a e k constantes. Calcule os níveis de energia dessa partícula e os raios permitidos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula de massa m que está girando numa órbita circular sob a influência de um potencial do tipo V(r) = V0(ra)^k. Nosso objetivo aqui é descobrir quais são os níveis de energia dessa partícula e quais os raios que a órbita pode ter. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força centrípeta e energia mecânica total na física.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma partícula se manter numa órbita circular, a força centrípeta que a mantém nessa trajetória deve ser igual à força que resulta do potencial V(r). A força centrípeta é dada por:
Fcentrípeta = m v^2r í
onde v é a velocidade da partícula.

Passo 3

A força derivada do potencial V(r) é dada pela derivada negativa do potencial em relação à posição r:
F = -dVdr = -ddr[V0(ra)^k] = -V0 cdot ka (ra)^k-1

Passo 4

Como a força centrípeta precisa equilibrar a força do potencial para manter a órbita, igualamos as duas expressões:
m v^2r = V0 ka (ra)^k-1

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade v em termos de r:
v^2 = V0 km a (ra)^k
v = raizV0 km a (ra)^k2

Passo 6

Com a velocidade em mãos, podemos calcular a energia cinética K da partícula:
K = 12 m v^2 = 12 m cdot V0 km a (ra)^k = V0 k2 a (ra)^k

Passo 7

A energia potencial é simplesmente o valor dado pelo potencial no ponto r:
U = V(r) = V0 (ra)^k

Passo 8

A energia total E da partícula é a soma da energia cinética e da energia potencial:
E = K + U = V0 k2 a (ra)^k + V0 (ra)^k = V0 (ra)^k (1 + k2)

Passo 9

Simplificando a expressão da energia total:
E = V0 (1 + k2) (ra)^k

Passo 10

Para encontrar os raios permitidos, precisamos considerar que para a órbita ser estável, a energia total deve ser mínima. Portanto, derivamos a energia total em relação a r e igualamos a zero:
dEdr = V0 (1 + k2) cdot k (ra)^k-1 cdot 1a = 0
Isso sugere que, para a energia ser mínima, o raio r é determinado pela condição inicial da força centrípeta balanceada com a força do potencial.

Resposta

Os níveis de energia da partícula estão dados por:
E = V0 (1 + k2) (ra)^k
E os raios permitidos para a órbita circular da partícula são determinados por:
r = a (m V0 kL^2)^1k
onde L é o momento angular da partícula.

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