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Uma partícula de massa
está presa numa órbita circular sob a ação do potencial
, com
e
constantes. Calcule os níveis de energia dessa partícula e os raios permitidos.
Uma partícula de massa
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula de massa
que está girando numa órbita circular sob a influência de um potencial do tipo
. Nosso objetivo aqui é descobrir quais são os níveis de energia dessa partícula e quais os raios que a órbita pode ter. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força centrípeta e energia mecânica total na física.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma partícula se manter numa órbita circular, a força centrípeta que a mantém nessa trajetória deve ser igual à força que resulta do potencial
. A força centrípeta é dada por:
onde
é a velocidade da partícula.
Passo 3
A força derivada do potencial
é dada pela derivada negativa do potencial em relação à posição
:
Passo 4
Como a força centrípeta precisa equilibrar a força do potencial para manter a órbita, igualamos as duas expressões:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade
em termos de
:
Passo 6
Com a velocidade em mãos, podemos calcular a energia cinética
da partícula:
Passo 7
A energia potencial é simplesmente o valor dado pelo potencial no ponto
:
Passo 8
A energia total
da partícula é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Passo 9
Simplificando a expressão da energia total:
Passo 10
Para encontrar os raios permitidos, precisamos considerar que para a órbita ser estável, a energia total deve ser mínima. Portanto, derivamos a energia total em relação a
e igualamos a zero:
Isso sugere que, para a energia ser mínima, o raio
é determinado pela condição inicial da força centrípeta balanceada com a força do potencial.
Resposta
Os níveis de energia da partícula estão dados por:
E os raios permitidos para a órbita circular da partícula são determinados por:
onde
é o momento angular da partícula.