Uma pessoa em repouso em relação à Terra emite flashes de luz a uma frequência . Uma pessoa corre em direção à com velocidade . Em determinado momento, quando e estão a uma distância um do outro, medido no referencial da Terra, começa a contar os flashes recebidos. Quantos flashes recebe durante o tempo em que ele chega até ?

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos duas pessoas, e . A pessoa está em repouso em relação à Terra e emite flashes de luz com frequência . A pessoa está correndo em direção a com uma velocidade . Quando e estão separados por uma distância , medida no referencial da Terra, começa a contar os flashes que recebe até chegar a . Queremos descobrir quantos flashes recebe durante essa trajetória.
Para resolver esse exercício, vamos precisar entender dois conceitos principais da física:
  1. Relatividade e o Efeito Doppler: Como está se movendo em relação a , a frequência dos flashes de luz que percebe pode ser diferente da frequência com que os emite.
  2. Movimento Relativo e Tempo: Precisamos calcular quanto tempo leva para percorrer a distância até .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o tempo que leva para chegar até . Como está se movendo com velocidade constante e a distância inicial é , o tempo ( ) necessário para percorrer essa distância é dado por:

Passo 3

Agora, precisamos determinar a frequência dos flashes que observa enquanto se aproxima de . Devido ao Efeito Doppler Relativístico, quando um observador se move em direção à fonte da luz, a frequência observada ( ) é maior do que a frequência emitida ( ). A fórmula para a frequência observada é:
onde e é a velocidade da luz.
Como é muito menor que ( ), podemos simplificar a expressão utilizando uma aproximação de primeiro ordem:

Passo 4

Com a frequência observada ( ) e o tempo de viagem ( ), podemos calcular o número total de flashes que recebe durante sua trajetória até . Esse número ( ) é simplesmente o produto da frequência pelo tempo:
Substituindo as expressões que encontramos:
Simplificando:
Observando que é muito pequeno, podemos desconsiderar o segundo termo:

Resposta

Portanto, o número de flashes que recebe durante o percurso até é aproximadamente:

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