Uma partícula com massa m sofre ação de uma força conservativa e se desloca ao longo de uma trajetória dada por x=x0 cos omega0 t e y=y0 sen omega0 t, onde x0, y0 e omega0 são constantes.
a) Ache os componentes da força que atua sobre a partícula.
b) Ache a energia potencial da partícula em função de x e y. Considere U=0 quando x=0 e y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que uma partícula com massa está se movendo sob a ação de uma força conservativa ao longo de uma trajetória específica: e . Vamos usar os conceitos de força e energia potencial da Física para resolver as partes a) e b).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as componentes da força que atua sobre a partícula. Sabemos que a força é relacionada à aceleração pela segunda lei de Newton: .

Passo 3

Para encontrar a aceleração, precisamos derivar duas vezes as funções de posição em relação ao tempo. Vamos começar com a posição em x(t) = x0 cos omega0 t :
vx(t) = dxdt = -x0 omega0 sin omega0 t
A primeira derivada em relação ao tempo nos dá a velocidade:
ax(t) = d^2xdt^2 = -x0 omega0^2 cos omega0 t
A segunda derivada nos dá a aceleração:

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo para a posição em y(t) = y0 sin omega0 t :
vy(t) = dydt = y0 omega0 cos omega0 t
A primeira derivada:
ay(t) = d^2ydt^2 = -y0 omega0^2 sin omega0 t
A segunda derivada:

Passo 5

Agora que temos as componentes da aceleração, aplicamos a segunda lei de Newton para encontrar as componentes da força:
Fx = m ax = -m x0 omega0^2 cos omega0 t
Fy = m ay = -m y0 omega0^2 sin omega0 t

Passo 6

Para a parte b), queremos achar a energia potencial F = -nabla U em função de Fx = -partial Upartial x e Fy = -partial Upartial y . Sabemos que a força é conservativa, então podemos relacionar a força à energia potencial pela relação:
Isso significa que:

Passo 7

Vamos integrar -partial Upartial x = -m x0 omega0^2 cos omega0 t em relação a partial Upartial x = m omega0^2 x para encontrar U(x) = 12 m omega0^2 x^2 + C(y) :
No entanto, precisamos expressar em função de e , e sabemos que , então:
Integrando em relação a :

Passo 8

Fazendo o mesmo para -partial Upartial y = -m y0 omega0^2 sin omega0 t :
partial Upartial y = m omega0^2 y
Usando U(y) = 12 m omega0^2 y^2 + C(x) :
Integrando em relação a :

Passo 9

Unindo as duas expressões para e , percebemos que e são constantes que podem ser combinadas em uma única constante. Como quando e , essa constante é zero.

Resposta

As componentes da força são:
Fx = -m x0 omega0^2 cos omega0 t
Fy = -m y0 omega0^2 sin omega0 t
E a energia potencial da partícula é:
U(x, y) = 12 m omega0^2 x^2 + 12 m omega0^2 y^2

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