Uma partícula com massa
sofre ação de uma força conservativa e se desloca ao longo de uma trajetória dada por
e
, onde
e
são constantes.
a) Ache os componentes da força que atua sobre a partícula.
b) Ache a energia potencial da partícula em função de
e
. Considere
quando
e
.
a) Ache os componentes da força que atua sobre a partícula.
b) Ache a energia potencial da partícula em função de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que uma partícula com massa
está se movendo sob a ação de uma força conservativa ao longo de uma trajetória específica:
e
. Vamos usar os conceitos de força e energia potencial da Física para resolver as partes a) e b).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as componentes da força que atua sobre a partícula. Sabemos que a força é relacionada à aceleração pela segunda lei de Newton:
.
Passo 3
Para encontrar a aceleração, precisamos derivar duas vezes as funções de posição em relação ao tempo. Vamos começar com a posição em
:
A primeira derivada em relação ao tempo nos dá a velocidade:
A segunda derivada nos dá a aceleração:
Passo 4
Agora, fazemos o mesmo para a posição em
:
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Passo 5
Agora que temos as componentes da aceleração, aplicamos a segunda lei de Newton para encontrar as componentes da força:
Passo 6
Para a parte b), queremos achar a energia potencial
em função de
e
. Sabemos que a força é conservativa, então podemos relacionar a força à energia potencial pela relação:
Isso significa que:
Passo 7
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
No entanto, precisamos expressar
em função de
e
, e sabemos que
, então:
Integrando em relação a
:
Passo 8
Fazendo o mesmo para
:
Usando
:
Integrando em relação a
:
Passo 9
Unindo as duas expressões para
e
, percebemos que
e
são constantes que podem ser combinadas em uma única constante. Como
quando
e
, essa constante é zero.
Resposta
As componentes da força são:
E a energia potencial da partícula é: