Uma partícula com massa sofre ação de uma força conservativa e se desloca ao longo de uma trajetória dada por e , onde e são constantes.
a) Ache os componentes da força que atua sobre a partícula.
b) Ache a energia potencial da partícula em função de e . Considere quando e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que uma partícula com massa está se movendo sob a ação de uma força conservativa ao longo de uma trajetória específica: e . Vamos usar os conceitos de força e energia potencial da Física para resolver as partes a) e b).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as componentes da força que atua sobre a partícula. Sabemos que a força é relacionada à aceleração pela segunda lei de Newton: .

Passo 3

Para encontrar a aceleração, precisamos derivar duas vezes as funções de posição em relação ao tempo. Vamos começar com a posição em :
A primeira derivada em relação ao tempo nos dá a velocidade:
A segunda derivada nos dá a aceleração:

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo para a posição em :
A primeira derivada:
A segunda derivada:

Passo 5

Agora que temos as componentes da aceleração, aplicamos a segunda lei de Newton para encontrar as componentes da força:

Passo 6

Para a parte b), queremos achar a energia potencial em função de e . Sabemos que a força é conservativa, então podemos relacionar a força à energia potencial pela relação:
Isso significa que:

Passo 7

Vamos integrar em relação a para encontrar :
No entanto, precisamos expressar em função de e , e sabemos que , então:
Integrando em relação a :

Passo 8

Fazendo o mesmo para :
Usando :
Integrando em relação a :

Passo 9

Unindo as duas expressões para e , percebemos que e são constantes que podem ser combinadas em uma única constante. Como quando e , essa constante é zero.

Resposta

As componentes da força são:
E a energia potencial da partícula é:

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a) Qual é o módulo da força necessária?
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