A figura a seguir mostra a trajetória percorrida por uma esfera que foi abandonada no ponto A a uma altura H sobre uma superfície inclinada. Se os atritos são desprezíveis, determine H em função de R, a fim de que a esfera caia exatamente no ponto C, o ponto mais baixo do trecho circular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma esfera que é solta do ponto A, que está a uma altura sobre uma superfície inclinada. Queremos descobrir qual é o valor de em função de para que a esfera chegue exatamente ao ponto C, que é o ponto mais baixo dessa parte circular da trajetória. Vamos usar conceitos de cinemática e conservação de energia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na Lei da Conservação da Energia. Como não há atrito, a energia total da esfera se conserva ao longo do movimento. Isso significa que a energia potencial gravitacional no ponto A será igual à energia cinética no ponto C.
A energia potencial gravitacional ( Ep = m cdot g cdot H ) é dada por:
Ek = 12 m v^2
onde:
  • é a massa da esfera,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura inicial.
A energia cinética ( ) no ponto C é:
onde é a velocidade da esfera no ponto C.

Passo 3

Igualando as duas energias pela conservação:
m cdot g cdot H = 12 m v^2
Podemos simplificar g cdot H = 12 v^2 dos dois lados:
Isso nos dá uma relação entre a altura e a velocidade no ponto C.

Passo 4

Agora, vamos relacionar essa velocidade Fc = m v^2R com o raio Fg = m cdot g da trajetória circular. No ponto mais baixo da trajetória (ponto C), a velocidade é tal que a força centrípeta necessária para manter o movimento circular é fornecida pela força gravitacional.
A força centrípeta ( m v^2R = m cdot g ) é:
v^2R = g
A força gravitacional que atua como centrípeta é:
v^2 = g cdot R
Igualando as duas forças:
Simplificando :
Daí:

Passo 5

Agora, substituímos g cdot H = 12 cdot g cdot R na equação anterior:
H = 12 R
Simplificando:

Resposta

Portanto, a altura H = R2 deve ser igual a metade do raio :

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