A figura a seguir mostra a trajetória percorrida por uma esfera que foi abandonada no ponto A a uma altura H sobre uma superfície inclinada. Se os atritos são desprezíveis, determine
em função de R, a fim de que a esfera caia exatamente no ponto C, o ponto mais baixo do trecho circular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma esfera que é solta do ponto A, que está a uma altura
sobre uma superfície inclinada. Queremos descobrir qual é o valor de
em função de
para que a esfera chegue exatamente ao ponto C, que é o ponto mais baixo dessa parte circular da trajetória. Vamos usar conceitos de cinemática e conservação de energia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na Lei da Conservação da Energia. Como não há atrito, a energia total da esfera se conserva ao longo do movimento. Isso significa que a energia potencial gravitacional no ponto A será igual à energia cinética no ponto C.
A energia potencial gravitacional (
) é dada por:
onde:
-
é a massa da esfera, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura inicial.
A energia cinética (
) no ponto C é:
onde
é a velocidade da esfera no ponto C.
Passo 3
Igualando as duas energias pela conservação:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Isso nos dá uma relação entre a altura
e a velocidade
no ponto C.
Passo 4
Agora, vamos relacionar essa velocidade
com o raio
da trajetória circular. No ponto mais baixo da trajetória (ponto C), a velocidade é tal que a força centrípeta necessária para manter o movimento circular é fornecida pela força gravitacional.
A força centrípeta (
) é:
A força gravitacional que atua como centrípeta é:
Igualando as duas forças:
Simplificando
:
Daí:
Passo 5
Agora, substituímos
na equação anterior:
Simplificando:
Resposta
Portanto, a altura
deve ser igual a metade do raio
:
Exercícios relacionados
Na figura abaixo um pequeno bloco de massa
pode deslizar em uma pista sem atrito que forma um loop de raio
.
Quando se larga a bola em repouso na posição mostrada ela oscilará ao longo do arco pontilhado. Qual será a sua velocidade
a) quando alcançar o ponto mais baixo do movimento?
b) quando alcançar o ponto mais elevado depois que o fio encostar no pino?
Quando se larga a bola em repouso na posição mostrada ela oscilará ao longo do arco pontilhado. Qual será a sua velocidade
a) quando alcançar o ponto mais baixo do movimento?
b) quando alcançar o ponto mais elevado depois que o fio encostar no pino?
Uma partícula com massa
sofre ação de uma força conservativa e se desloca ao longo de uma trajetória dada por
e
, onde
e
são constantes.
a) Ache os componentes da força que atua sobre a partícula.
b) Ache a energia potencial da partícula em função de e
. Considere
quando
e
.
a) Ache os componentes da força que atua sobre a partícula.
b) Ache a energia potencial da partícula em função de
Alega-se que até 900 kg de água podem ser evaporados diariamente pelas grandes árvores. A evaporação ocorre nas folhas e para chegar lá a água tem de ser elevada desde as raízes da árvore.
a) Suponha que em média a água seja elevada de 9,20 m acima do solo; que energia deve ser fornecida?
b) Qual a potência média envolvida, se admitirmos que a evaporação ocorra durante 12 horas?
a) Suponha que em média a água seja elevada de 9,20 m acima do solo; que energia deve ser fornecida?
b) Qual a potência média envolvida, se admitirmos que a evaporação ocorra durante 12 horas?
Um bloco é abandonado em repouso num ponto
de um plano inclinado, conforme a figura. Os trechos inclinados
e CD são perfeitamente lisos e o trecho horizontal BC apresenta atrito de coeficiente
. O Professor Gomes pede para você determinar a altura máxima que o bloco atinge no trecho
.