A figura a seguir mostra a trajetória percorrida por uma esfera que foi abandonada no ponto A a uma altura H sobre uma superfície inclinada. Se os atritos são desprezíveis, determine
em função de R, a fim de que a esfera caia exatamente no ponto C, o ponto mais baixo do trecho circular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma esfera que é solta do ponto A, que está a uma altura
sobre uma superfície inclinada. Queremos descobrir qual é o valor de
em função de
para que a esfera chegue exatamente ao ponto C, que é o ponto mais baixo dessa parte circular da trajetória. Vamos usar conceitos de cinemática e conservação de energia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na Lei da Conservação da Energia. Como não há atrito, a energia total da esfera se conserva ao longo do movimento. Isso significa que a energia potencial gravitacional no ponto A será igual à energia cinética no ponto C.
A energia potencial gravitacional (
) é dada por:
onde:
-
é a massa da esfera, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura inicial.
A energia cinética (
) no ponto C é:
onde
é a velocidade da esfera no ponto C.
Passo 3
Igualando as duas energias pela conservação:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Isso nos dá uma relação entre a altura
e a velocidade
no ponto C.
Passo 4
Agora, vamos relacionar essa velocidade
com o raio
da trajetória circular. No ponto mais baixo da trajetória (ponto C), a velocidade é tal que a força centrípeta necessária para manter o movimento circular é fornecida pela força gravitacional.
A força centrípeta (
) é:
A força gravitacional que atua como centrípeta é:
Igualando as duas forças:
Simplificando
:
Daí:
Passo 5
Agora, substituímos
na equação anterior:
Simplificando:
Resposta
Portanto, a altura
deve ser igual a metade do raio
: