Uma partícula de massa m é submetida a uma força cuja energia potencial é:
V=a x^2-b x^3
A partícula parte da origem x=0 com velocidade v0. Mostre que, se |v0|, onde vc é uma certa velocidade crítica, a partícula permanecerá confinada em uma região próxima à origem. O ponto de equilíbrio é onde F(x)=0. Encontre vc.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com massa que está sujeita a uma força definida por uma energia potencial . A partícula começa na origem, ou seja, em , com uma velocidade inicial . Nosso objetivo é mostrar que, se a velocidade inicial for menor que uma velocidade crítica , a partícula ficará confinada perto da origem. Além disso, vamos encontrar o valor dessa velocidade crítica . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial, equilíbrio de forças e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio, ou seja, onde a força resultante sobre a partícula é zero. A força F(x) = -dVdx = -ddx(a x^2 - b x^3) = - (2a x - 3b x^2) = -2a x + 3b x^2 está relacionada à energia potencial pela relação -2a x + 3b x^2 = 0 . Vamos calcular a derivada de x(-2a + 3b x) = 0 :
x = 0 e x = 2a3b
Então, para encontrar os pontos de equilíbrio, igualamos a zero:
Simplificando:
Isso nos dá duas soluç��es:
Portanto, os pontos de equilíbrio estão em e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a estabilidade desses pontos de equilíbrio. Para isso, precisamos verificar a segunda derivada da energia potencial d^2Vdx^2 = ddx(2a x - 3b x^2) = 2a - 6b x em cada ponto de equilíbrio. A segunda derivada nos dá informações sobre a concavidade da curva de energia potencial, o que indica se o ponto de equilíbrio é estável (mínimo de energia) ou instável (máximo de energia).
Calculando a segunda derivada:
d^2Vdx^2 = 2a - 6b cdot 0 = 2a
Vamos avaliar em cada ponto de equilíbrio:
  1. Em d^2Vdx^2 = 2a - 6b cdot 2a3b = 2a - 4a = -2a :
Se , a segunda derivada é positiva, indicando que é um ponto de equilíbrio estável (mínimo de energia).
  1. Em :
Se , a segunda derivada é negativa, indicando que é um ponto de equilíbrio instável (máximo de energia).
Portanto, apenas é um ponto de equilíbrio estável.

Passo 4

Agora, vamos usar o princípio da conservação de energia para determinar a condição para que a partícula permaneça confinada perto da origem. A energia total E = K + V(x) = 12 m v^2 + a x^2 - b x^3 da partícula é a soma da energia cinética Einicial = 12 m v0^2 + a cdot 0^2 - b cdot 0^3 = 12 m v0^2 e da energia potencial V(2a3b) = a (2a3b)^2 - b (2a3b)^3 :
V(2a3b) = a cdot 4a^29b^2 - b cdot 8a^327b^3 = 4a^39b^2 - 8a^327b^2 = 12a^3 - 8a^327b^2 = 4a^327b^2
No ponto inicial , a velocidade é , então a energia total inicial é:
Para que a partícula permaneça confinada perto da origem, sua energia total deve ser menor que a energia máxima que ela pode atingir antes de superar a barreira de potencial no ponto de equilíbrio instável . Vamos calcular a energia potencial nesse ponto:
Simplificando:
Portanto, a energia máxima é .

Passo 5

De acordo com o princípio da conservação de energia, para que a partícula não consiga superar a barreira de potencial e escape da região próxima à origem, a energia total inicial deve ser menor ou igual a essa energia máxima:
Einicial <= 4a^327b^2
Substituindo 12 m v0^2 <= 4a^327b^2 :
v0^2 <= 8a^327b^2 m
Vamos resolver para |v0| <= raiz8a^327b^2 m = 2a^3/23raiz3b m^1/2 :
vc = 2a^3/23raiz3b raizm
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
Portanto, a velocidade crítica é:

Resposta

A velocidade crítica é:
vc = 2a^3/23raiz3, b, raizm

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