Uma partícula de massa é submetida a uma força cuja energia potencial é:
A partícula parte da origem com velocidade . Mostre que, se , onde é uma certa velocidade crítica, a partícula permanecerá confinada em uma região próxima à origem. O ponto de equilíbrio é onde . Encontre .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com massa que está sujeita a uma força definida por uma energia potencial . A partícula começa na origem, ou seja, em , com uma velocidade inicial . Nosso objetivo é mostrar que, se a velocidade inicial for menor que uma velocidade crítica , a partícula ficará confinada perto da origem. Além disso, vamos encontrar o valor dessa velocidade crítica . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial, equilíbrio de forças e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio, ou seja, onde a força resultante sobre a partícula é zero. A força está relacionada à energia potencial pela relação . Vamos calcular a derivada de :
Então, para encontrar os pontos de equilíbrio, igualamos a zero:
Simplificando:
Isso nos dá duas soluç��es:
Portanto, os pontos de equilíbrio estão em e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a estabilidade desses pontos de equilíbrio. Para isso, precisamos verificar a segunda derivada da energia potencial em cada ponto de equilíbrio. A segunda derivada nos dá informações sobre a concavidade da curva de energia potencial, o que indica se o ponto de equilíbrio é estável (mínimo de energia) ou instável (máximo de energia).
Calculando a segunda derivada:
Vamos avaliar em cada ponto de equilíbrio:
  1. Em :
Se , a segunda derivada é positiva, indicando que é um ponto de equilíbrio estável (mínimo de energia).
  1. Em :
Se , a segunda derivada é negativa, indicando que é um ponto de equilíbrio instável (máximo de energia).
Portanto, apenas é um ponto de equilíbrio estável.

Passo 4

Agora, vamos usar o princípio da conservação de energia para determinar a condição para que a partícula permaneça confinada perto da origem. A energia total da partícula é a soma da energia cinética e da energia potencial :
No ponto inicial , a velocidade é , então a energia total inicial é:
Para que a partícula permaneça confinada perto da origem, sua energia total deve ser menor que a energia máxima que ela pode atingir antes de superar a barreira de potencial no ponto de equilíbrio instável . Vamos calcular a energia potencial nesse ponto:
Simplificando:
Portanto, a energia máxima é .

Passo 5

De acordo com o princípio da conservação de energia, para que a partícula não consiga superar a barreira de potencial e escape da região próxima à origem, a energia total inicial deve ser menor ou igual a essa energia máxima:
Substituindo :
Vamos resolver para :
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
Portanto, a velocidade crítica é:

Resposta

A velocidade crítica é:

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Encontre a força.
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