Uma partícula de massa
é submetida a uma força cuja energia potencial é:
A partícula parte da origem
com velocidade
. Mostre que, se
, onde
é uma certa velocidade crítica, a partícula permanecerá confinada em uma região próxima à origem. O ponto de equilíbrio é onde
. Encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com massa
que está sujeita a uma força definida por uma energia potencial
. A partícula começa na origem, ou seja, em
, com uma velocidade inicial
. Nosso objetivo é mostrar que, se a velocidade inicial
for menor que uma velocidade crítica
, a partícula ficará confinada perto da origem. Além disso, vamos encontrar o valor dessa velocidade crítica
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial, equilíbrio de forças e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio, ou seja, onde a força resultante sobre a partícula é zero. A força
está relacionada à energia potencial pela relação
. Vamos calcular a derivada de
:
Então, para encontrar os pontos de equilíbrio, igualamos
a zero:
Simplificando:
Isso nos dá duas soluç��es:
Portanto, os pontos de equilíbrio estão em
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a estabilidade desses pontos de equilíbrio. Para isso, precisamos verificar a segunda derivada da energia potencial
em cada ponto de equilíbrio. A segunda derivada nos dá informações sobre a concavidade da curva de energia potencial, o que indica se o ponto de equilíbrio é estável (mínimo de energia) ou instável (máximo de energia).
Calculando a segunda derivada:
Vamos avaliar em cada ponto de equilíbrio:
- Em
:
Se
, a segunda derivada é positiva, indicando que
é um ponto de equilíbrio estável (mínimo de energia).
- Em
:
Se
, a segunda derivada é negativa, indicando que
é um ponto de equilíbrio instável (máximo de energia).
Portanto, apenas
é um ponto de equilíbrio estável.
Passo 4
Agora, vamos usar o princípio da conservação de energia para determinar a condição para que a partícula permaneça confinada perto da origem. A energia total
da partícula é a soma da energia cinética
e da energia potencial
:
No ponto inicial
, a velocidade é
, então a energia total inicial é:
Para que a partícula permaneça confinada perto da origem, sua energia total deve ser menor que a energia máxima que ela pode atingir antes de superar a barreira de potencial no ponto de equilíbrio instável
. Vamos calcular a energia potencial nesse ponto:
Simplificando:
Portanto, a energia máxima é
.
Passo 5
De acordo com o princípio da conservação de energia, para que a partícula não consiga superar a barreira de potencial e escape da região próxima à origem, a energia total inicial deve ser menor ou igual a essa energia máxima:
Substituindo
:
Vamos resolver para
:
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
Portanto, a velocidade crítica
é:
Resposta
A velocidade crítica é:
Exercícios relacionados
Uma partícula de massa
é submetida a uma força cuja energia potencial é:
Encontre a força.
Uma partícula de massa
está sujeita a uma força constante
. No instante
, sua velocidade é zero. Use o teorema do momento linear para encontrar sua velocidade em qualquer instante posterior
. Calcule a energia da partícula em qualquer instante posterior usando as Equações (2.7) e (2.8) e verifique se os resultados coincidem.
Uma partícula está sujeita a uma força:
Você pode dar uma interpretação simples do movimento quando
?
Uma partícula de massa m está sujeita a uma força restauradora proporcional à sua posição
e a uma força de amortecimento proporcional à sua velocidade
.
Resolve a equação de movimento e determine . Esboce o gráfico típico de
função do tempo para esse sistema.
Resolve a equação de movimento e determine