Uma partícula de massa m está sujeita a uma força constante F. No instante t=0, sua velocidade é zero. Use o teorema do momento linear para encontrar sua velocidade em qualquer instante posterior t. Calcule a energia da partícula em qualquer instante posterior usando as Equações (2.7) e (2.8) e verifique se os resultados coincidem.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa que está sendo puxada por uma força constante . No instante inicial ( ), a velocidade dela é zero. Nosso objetivo é usar o teorema do momento linear para descobrir qual será a velocidade dessa partícula em qualquer instante após o início. Depois, vamos calcular a energia da partícula usando as Equações (2.7) e (2.8) (que provavelmente se referem às relações de energia cinética e trabalho) e verificar se os resultados batem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o momento linear. O momento linear ( p = m v ) de uma partícula é dado por:
De
onde é a massa e é a velocidade.
O teorema do momento linear nos diz que a variação do momento linear de um sistema é igual ao impulso aplicado sobre ele. Matemáticamente:
Como a força é constante e a velocidade inicial é zero, podemos simplificar para encontrar a velocidade em qualquer instante .

Passo 3

Vamos aplicar o teorema. Inicialmente, no tempo De, a velocidade m v = F t , então o momento inicial .
Após um tempo , o momento final .
A variação do momento é:
De acordo com o teorema:

Passo 4

Agora, isolamos a velocidade v = F tm :
v(t) = F tm
Então, a velocidade da partícula em qualquer instante posterior é:

Passo 5

Agora vamos calcular a energia da partícula. As Equações (2.7) e (2.8) provavelmente referem-se à energia cinética e ao trabalho realizado pela força.
A energia cinética ( KE = 12 m v^2 ) é dada por:
KE = 12 m ( F tm )^2 = 12 m ( F^2 t^2m^2 ) = F^2 t^22m
Substituindo que encontramos:

Passo 6

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela força W = F cdot d . O trabalho ( d = 12 a t^2 = 12 ( Fm ) t^2 = F t^22m ) é dado por:
W = F cdot F t^22m = F^2 t^22m
Onde é a distância percorrida. Para encontrar , usamos a equação do movimento com aceleração constante. Sabemos que a aceleração , e como a velocidade inicial é zero:
Então, o trabalho é:

Passo 7

Agora, comparamos as duas expressões que obtivemos:
  • Energia cinética:
  • Trabalho realizado:
Vemos que , ou seja, a energia da partícula coincide com o trabalho realizado pela força, confirmando a consistência dos resultados.

Resposta

A velocidade da partícula em qualquer instante v(t) = F tm é:
KE = W = F^2 t^22m
E a energia da partícula é igual ao trabalho realizado pela força:

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