Uma partícula de massa está sujeita a uma força constante . No instante , sua velocidade é zero. Use o teorema do momento linear para encontrar sua velocidade em qualquer instante posterior . Calcule a energia da partícula em qualquer instante posterior usando as Equações (2.7) e (2.8) e verifique se os resultados coincidem.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa que está sendo puxada por uma força constante . No instante inicial ( ), a velocidade dela é zero. Nosso objetivo é usar o teorema do momento linear para descobrir qual será a velocidade dessa partícula em qualquer instante após o início. Depois, vamos calcular a energia da partícula usando as Equações (2.7) e (2.8) (que provavelmente se referem às relações de energia cinética e trabalho) e verificar se os resultados batem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o momento linear. O momento linear ( ) de uma partícula é dado por:
onde é a massa e é a velocidade.
O teorema do momento linear nos diz que a variação do momento linear de um sistema é igual ao impulso aplicado sobre ele. Matemáticamente:
Como a força é constante e a velocidade inicial é zero, podemos simplificar para encontrar a velocidade em qualquer instante .

Passo 3

Vamos aplicar o teorema. Inicialmente, no tempo , a velocidade , então o momento inicial .
Após um tempo , o momento final .
A variação do momento é:
De acordo com o teorema:

Passo 4

Agora, isolamos a velocidade :
Então, a velocidade da partícula em qualquer instante posterior é:

Passo 5

Agora vamos calcular a energia da partícula. As Equações (2.7) e (2.8) provavelmente referem-se à energia cinética e ao trabalho realizado pela força.
A energia cinética ( ) é dada por:
Substituindo que encontramos:

Passo 6

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela força . O trabalho ( ) é dado por:
Onde é a distância percorrida. Para encontrar , usamos a equação do movimento com aceleração constante. Sabemos que a aceleração , e como a velocidade inicial é zero:
Então, o trabalho é:

Passo 7

Agora, comparamos as duas expressões que obtivemos:
  • Energia cinética:
  • Trabalho realizado:
Vemos que , ou seja, a energia da partícula coincide com o trabalho realizado pela força, confirmando a consistência dos resultados.

Resposta

A velocidade da partícula em qualquer instante é:
E a energia da partícula é igual ao trabalho realizado pela força:

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