Uma partícula de massa
está sujeita a uma força constante
. No instante
, sua velocidade é zero. Use o teorema do momento linear para encontrar sua velocidade em qualquer instante posterior
. Calcule a energia da partícula em qualquer instante posterior usando as Equações (2.7) e (2.8) e verifique se os resultados coincidem.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa
que está sendo puxada por uma força constante
. No instante inicial (
), a velocidade dela é zero. Nosso objetivo é usar o teorema do momento linear para descobrir qual será a velocidade dessa partícula em qualquer instante
após o início. Depois, vamos calcular a energia da partícula usando as Equações (2.7) e (2.8) (que provavelmente se referem às relações de energia cinética e trabalho) e verificar se os resultados batem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o momento linear. O momento linear (
) de uma partícula é dado por:
onde
é a massa e
é a velocidade.
O teorema do momento linear nos diz que a variação do momento linear de um sistema é igual ao impulso aplicado sobre ele. Matemáticamente:
Como a força
é constante e a velocidade inicial é zero, podemos simplificar para encontrar a velocidade em qualquer instante
.
Passo 3
Vamos aplicar o teorema. Inicialmente, no tempo
, a velocidade
, então o momento inicial
.
Após um tempo
, o momento final
.
A variação do momento é:
De acordo com o teorema:
Passo 4
Agora, isolamos a velocidade
:
Então, a velocidade da partícula em qualquer instante posterior
é:
Passo 5
Agora vamos calcular a energia da partícula. As Equações (2.7) e (2.8) provavelmente referem-se à energia cinética e ao trabalho realizado pela força.
A energia cinética (
) é dada por:
Substituindo
que encontramos:
Passo 6
Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela força
. O trabalho (
) é dado por:
Onde
é a distância percorrida. Para encontrar
, usamos a equação do movimento com aceleração constante. Sabemos que a aceleração
, e como a velocidade inicial é zero:
Então, o trabalho é:
Passo 7
Agora, comparamos as duas expressões que obtivemos:
- Energia cinética:
- Trabalho realizado:
Vemos que
, ou seja, a energia da partícula coincide com o trabalho realizado pela força, confirmando a consistência dos resultados.
Resposta
A velocidade da partícula em qualquer instante
é:
E a energia da partícula é igual ao trabalho realizado pela força: