Uma partícula de massa m está sujeita a uma força restauradora proporcional à sua posição F(x)=-k x e a uma força de amortecimento proporcional à sua velocidade F(v)=-gamma v.
Resolve a equação de movimento e determine x(t). Esboce o gráfico típico de x(t) em função do tempo para esse sistema.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa que está sendo puxada de volta para uma posição de equilíbrio por uma força restauradora proporcional à sua posição, ou seja, . Além disso, há uma força de amortecimento proporcional à velocidade da partícula, que é . O objetivo aqui é resolver a equação de movimento dessa partícula para encontrar , que descreve a posição da partícula ao longo do tempo, e também desenhar como se comporta em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele vezes a aceleração: . Aqui, a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos somar as forças que atuam na partícula. Temos a força restauradora F = -k x - gamma dxdt e a força de amortecimento , onde é a velocidade. Então, a força total é:

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton:
m d^2xdt^2 = -k x - gamma dxdt
Vamos reorganizar essa equação para obter uma equação diferencial homogênea de segunda ordem:
m d^2xdt^2 + gamma dxdt + k x = 0

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação depende das raízes da equação característica associada, que é:
m r^2 + gamma r + k = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para r = -gamma pm raizgamma^2 - 4 m k 2 m :

Passo 6

O discriminante determina o tipo de solução:
  1. Se : Duas raízes reais e distintas, sistema superamortecido.
  2. Se : Duas raízes reais e iguais, sistema criticamente amortecido.
  3. Se : Raízes complexas, sistema subamortecido.
Vamos considerar o caso mais comum, que é o subamortecido ( ), onde a partícula realiza oscilações que decaem no tempo.

Passo 7

Para r = alpha pm i beta , podemos escrever as raízes como:
alpha = -gamma2m, beta = raiz4 m k - gamma^22m
onde:
x(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )
A solução geral para nesse caso é:
Aqui, e são constantes que dependem das condições iniciais.

Passo 8

Simplificando a notação, a solução pode ser escrita como:
x(t) = A e^-gamma2m t cos( raiz4 m k - gamma^22m t + phi )
onde é a amplitude inicial e é a fase.

Passo 9

Então, a posição da partícula em função do tempo é:
x(t) = A e^-gamma2m t cos( raiz4 m k - gamma^22m t + phi )
Essa função descreve oscilações que têm uma amplitude decrescente ao longo do tempo devido ao termo exponencial .

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é dada por:
x(t) = A e^-gamma2m t cos( raiz4 m k - gamma^22m t + phi )
O gráfico típico de em função do tempo mostra oscilações que diminuem de amplitude à medida que o tempo aumenta, formando uma curva que se aproxima do eixo do tempo sem nunca tocá-lo, representando o movimento oscilatório amortecido.

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