Uma partícula de massa m está sujeita a uma força restauradora proporcional à sua posição
e a uma força de amortecimento proporcional à sua velocidade
.
Resolve a equação de movimento e determine
. Esboce o gráfico típico de
função do tempo para esse sistema.
Resolve a equação de movimento e determine
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa
que está sendo puxada de volta para uma posição de equilíbrio por uma força restauradora proporcional à sua posição, ou seja,
. Além disso, há uma força de amortecimento proporcional à velocidade da partícula, que é
. O objetivo aqui é resolver a equação de movimento dessa partícula para encontrar
, que descreve a posição da partícula ao longo do tempo, e também desenhar como
se comporta em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele vezes a aceleração:
. Aqui, a aceleração
é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos somar as forças que atuam na partícula. Temos a força restauradora
e a força de amortecimento
, onde
é a velocidade. Então, a força total
é:
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton:
Vamos reorganizar essa equação para obter uma equação diferencial homogênea de segunda ordem:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação depende das raízes da equação característica associada, que é:
Vamos resolver essa equação quadrática para
:
Passo 6
O discriminante
determina o tipo de solução:
- Se
: Duas raízes reais e distintas, sistema superamortecido. - Se
: Duas raízes reais e iguais, sistema criticamente amortecido. - Se
: Raízes complexas, sistema subamortecido.
Vamos considerar o caso mais comum, que é o subamortecido (
), onde a partícula realiza oscilações que decaem no tempo.
Passo 7
Para
, podemos escrever as raízes como:
onde:
A solução geral para
nesse caso é:
Aqui,
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Passo 8
Simplificando a notação, a solução pode ser escrita como:
onde
é a amplitude inicial e
é a fase.
Passo 9
Então, a posição da partícula em função do tempo é:
Essa função descreve oscilações que têm uma amplitude decrescente ao longo do tempo devido ao termo exponencial
.
Resposta
A posição da partícula em função do tempo é dada por:
O gráfico típico de
em função do tempo mostra oscilações que diminuem de amplitude à medida que o tempo aumenta, formando uma curva que se aproxima do eixo do tempo sem nunca tocá-lo, representando o movimento oscilatório amortecido.
Exercícios relacionados
Uma partícula está sujeita a uma força:
Você pode dar uma interpretação simples do movimento quando
?
Uma partícula de massa
é submetida a uma força cuja energia potencial é:
A partícula parte da origem
com velocidade
. Mostre que, se
, onde
é uma certa velocidade crítica, a partícula permanecerá confinada em uma região próxima à origem. O ponto de equilíbrio é onde
. Encontre
.
Uma partícula está sujeita a uma força:
Encontre o potencial
, descreva a natureza das soluções e encontre a solução
.
Uma partícula de massa m está sujeita a uma força restauradora proporcional à sua posição
e a uma força de amortecimento proporcional à sua velocidade
.
Determine a energia total do sistema em função do tempo .
Determine a energia total do sistema em função do tempo