Uma partícula está sujeita a uma força:
Encontre o potencial
, descreva a natureza das soluções e encontre a solução
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma força que age sobre uma partícula, dada por:
Queremos encontrar o potencial
, descrever o tipo de soluções que essa força gera e, por fim, encontrar a solução
.
Passo 2
Vamos começar encontrando o potencial
. Sabemos que a força está relacionada ao potencial pela relação:
Então, para encontrar
, precisamos integrar a força em relação a
:
Passo 3
Vamos realizar a integração termo a termo:
Resolvendo cada integral:
Passo 4
Juntando as integrais, temos:
Onde
é a constante de integração. Podemos considerar
se escolhermos o potencial zero em
tendendo ao infinito.
Passo 5
Agora, vamos descrever a natureza das soluções. O potencial encontrado é:
Este potencial combina um termo harmônico (
) com um termo de repulsão centrífuga (
). As soluções dependerão do equilíbrio entre essas duas forças.
Para encontrar os pontos de equilíbrio, igualamos a força a zero:
Este ponto de equilíbrio pode ser estável ou instável dependendo das condições.
Passo 6
Finalmente, vamos encontrar a solução
. Para isso, usamos a equação do movimento:
Assumindo pequenas oscilações ao redor do ponto de equilíbrio
, podemos aproximar a equação para uma oscilação harmônica:
A solução dessa equação é:
Resposta
O potencial é dado por:
As soluções apresentam movimentos oscilatórios ao redor do ponto de equilíbrio
. A solução para
é: