Uma partícula está sujeita a uma força:
F=-k x+ax^3
Encontre o potencial V(x), descreva a natureza das soluções e encontre a solução x(t).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma força que age sobre uma partícula, dada por:
F = -k x + ax^3
Queremos encontrar o potencial , descrever o tipo de soluções que essa força gera e, por fim, encontrar a solução .

Passo 2

Vamos começar encontrando o potencial F = -dVdx . Sabemos que a força está relacionada ao potencial pela relação:
V(x) = -integral F , dx = -integral ( -k x + ax^3 ) dx
Então, para encontrar , precisamos integrar a força em relação a :

Passo 3

Vamos realizar a integração termo a termo:
V(x) = -integral (-k x) , dx - integral ( ax^3 ) dx
Resolvendo cada integral:

Passo 4

Juntando as integrais, temos:
V(x) = k2 x^2 + a2 x^2 + C
Onde é a constante de integração. Podemos considerar se escolhermos o potencial zero em tendendo ao infinito.

Passo 5

Agora, vamos descrever a natureza das soluções. O potencial encontrado é:
V(x) = k2 x^2 + a2 x^2
Este potencial combina um termo harmônico ( F = -k x + ax^3 = 0 implies k x = ax^3 implies x^4 = ak implies x = ( ak )^1/4 ) com um termo de repulsão centrífuga ( ). As soluções dependerão do equilíbrio entre essas duas forças.
Para encontrar os pontos de equilíbrio, igualamos a força a zero:
Este ponto de equilíbrio pode ser estável ou instável dependendo das condições.

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar a solução m d^2xdt^2 = F = -k x + ax^3 . Para isso, usamos a equação do movimento:
m d^2xdt^2 + k x approx 0
Assumindo pequenas oscilações ao redor do ponto de equilíbrio x(t) = x0 cos( raizkm t ) , podemos aproximar a equação para uma oscilação harmônica:
A solução dessa equação é:

Resposta

O potencial é dado por:
V(x) = k2 x^2 + a2 x^2
As soluções apresentam movimentos oscilatórios ao redor do ponto de equilíbrio x(t) = ( ak )^1/4 cos( raizkm t ) . A solução para é:

Exercícios relacionados