Uma partícula de massa m está sujeita a uma força restauradora proporcional à sua posição F(x)=-k x e a uma força de amortecimento proporcional à sua velocidade F(v)=-gamma v.
Determine a energia total do sistema em função do tempo t.

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula de massa que sofre duas forças: uma que puxa ela de volta para a posição de equilíbrio, chamada de força restauradora, que é proporcional à posição com , e uma força de amortecimento que depende da velocidade dela, . Nosso objetivo é descobrir a energia total desse sistema em função do tempo .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a energia total do sistema é a soma da energia cinética ( ) e da energia potencial ( ). A energia cinética é dada por e a energia potencial da força restauradora é .

Passo 3

Como temos uma força de amortecimento, que dissipa energia, a energia total do sistema não será constante, mas vai diminuir com o tempo. Para encontrar como essa energia varia, vamos escrever a equação de movimento da partícula usando a segunda lei de Newton:
m d^2 xdt^2 = -k x - gamma dxdt

Passo 4

Essa equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem que descreve um oscilador harmônico amortecido. A solução dessa equação nos dá a posição x(t) = x0 e^-gamma2m t cos(omega t + phi) em função do tempo. Sabemos que, para amortecimento, a solução tende a ser uma oscilação com amplitude decrescente:
onde é a amplitude inicial, é a frequência angular, e é a fase inicial.

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia cinética e potencial usando v(t) = dxdt = -x0 e^-gamma2m t ( gamma2m cos(omega t + phi) + omega sin(omega t + phi) ) . Primeiro, derivamos para achar a velocidade :

Passo 6

Em seguida, substituímos Ec(t) = 12 m v(t)^2 e Ep(t) = 12 k x(t)^2 nas expressões de e :

Passo 7

A energia total E(t) = Ec(t) + Ep(t) é a soma das duas:
Após realizar os cálculos e simplificações (que envolvem termos exponenciais e trigonométricos), a energia total do sistema decresce exponencialmente devido ao amortecimento.

Resposta

A energia total do sistema em função do tempo E(t) = E0 e^-gammam t é:
onde é a energia inicial do sistema.

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