Uma partícula de massa m está sujeita a uma força restauradora proporcional à sua posição
e a uma força de amortecimento proporcional à sua velocidade
.
Determine a energia total do sistema em função do tempo
.
Determine a energia total do sistema em função do tempo
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula de massa
que sofre duas forças: uma que puxa ela de volta para a posição de equilíbrio, chamada de força restauradora, que é proporcional à posição
com
, e uma força de amortecimento que depende da velocidade
dela,
. Nosso objetivo é descobrir a energia total desse sistema em função do tempo
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a energia total do sistema é a soma da energia cinética (
) e da energia potencial (
). A energia cinética é dada por
e a energia potencial da força restauradora é
.
Passo 3
Como temos uma força de amortecimento, que dissipa energia, a energia total do sistema não será constante, mas vai diminuir com o tempo. Para encontrar como essa energia varia, vamos escrever a equação de movimento da partícula usando a segunda lei de Newton:
Passo 4
Essa equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem que descreve um oscilador harmônico amortecido. A solução dessa equação nos dá a posição
em função do tempo. Sabemos que, para amortecimento, a solução tende a ser uma oscilação com amplitude decrescente:
onde
é a amplitude inicial,
é a frequência angular, e
é a fase inicial.
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia cinética e potencial usando
. Primeiro, derivamos
para achar a velocidade
:
Passo 6
Em seguida, substituímos
e
nas expressões de
e
:
Passo 7
A energia total
é a soma das duas:
Após realizar os cálculos e simplificações (que envolvem termos exponenciais e trigonométricos), a energia total do sistema decresce exponencialmente devido ao amortecimento.
Resposta
A energia total do sistema em função do tempo
é:
onde
é a energia inicial do sistema.
Exercícios relacionados
Uma partícula está sujeita a uma força:
Encontre o potencial
, descreva a natureza das soluções e encontre a solução
.
Uma partícula de massa m está sujeita a uma força restauradora proporcional à sua posição
e a uma força de amortecimento proporcional à sua velocidade
.
Resolve a equação de movimento e determine . Esboce o gráfico típico de
função do tempo para esse sistema.
Resolve a equação de movimento e determine
A fonte de uma onda sonora tem uma potência de 1,00
. Se a fonte é pontual, (a) qual é a intensidade a
de distância e (b) qual é o nível sonoro em decibéis a essa distância?