Uma partícula de massa
é suspensa por um fio de comprimento
e de massa desprezível a partir do ponto
, conectado a uma parede inclinada de um ângulo
em relação à vertical, conforme a figura. Se a partícula é solta de uma posição inicial tal que o fio faça um ângulo
<< 1 rad com a vertical, de modo que
, e em repouso, e a colisão entre ela e a parede for perfeitamente elástica, qual é o valor do período das pequenas oscilações do pêndulo em torno da posição de equilibrio? Sugestão: utilize a identidade trigonométrica
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente está lidando com o movimento de um pêndulo simples que bate numa parede inclinada. O conteúdo principal envolve oscilações de pequenos ângulos e algumas identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o período de oscilações e aplicar um pouco de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sistema. Temos um fio de comprimento $ l $ segurando uma partícula de massa $ m $. O fio está preso numa parede que está inclinada por um ângulo $ \alpha $ em relação à vertical. A partícula é solta de um ângulo $ \beta $ com a vertical, onde $ \beta > \alpha $ e ambos são pequenos ($ \ll 1 $ rad).
Passo 3
Quando a partícula oscila, ela vai bater na parede inclinada. Como a colisão é perfeitamente elástica, a energia é conservada, e a partícula vai refletir com o mesmo ângulo. Nosso objetivo é encontrar o período dessas oscilações.
Passo 4
Para pequenas oscilações, podemos usar a aproximação de que $ \sin(\theta) \approx \theta $ e $ \cos(\theta) \approx 1 $. Isso simplifica nossos cálculos, já que trabalharemos com ângulos pequenos.
Passo 5
O período de um pêndulo simples sem interferência de paredes é dado por:
onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 6
No nosso caso, a parede inclinada altera o caminho da partícula. Cada vez que a partícula bate na parede, ela efetivamente muda a direção do movimento, mas a frequência de oscilações depende de como esse choque afeta o tempo total de um ciclo completo.
Passo 7
A distância angular entre as batidas na parede é relacionada ao ângulo $ \alpha $. Quando a partícula oscila de $ \beta $ até $ \alpha $, ela percorre um arco que podemos relacionar usando funções trigonométricas.
Passo 8
Vamos usar a identidade trigonométrica sugerida:
Isso vai nos ajudar a relacionar os ângulos e facilitar o cálculo do período.
Passo 9
Calculando o tempo para a partícula ir de $ \beta $ até $ \alpha $ e voltar, usamos integrais que levam em conta a variação do ângulo com o tempo. Após integrar e aplicar as aproximações, chegamos à expressão do período.
Passo 10
Finalmente, o período das pequenas oscilações do pêndulo em torno da posição de equilíbrio é dado por:
Resposta
O período das pequenas oscilações do pêndulo em torno da posição de equilíbrio é