Uma partícula de massa m é suspensa por um fio de comprimento l e de massa desprezível a partir do ponto O, conectado a uma parede inclinada de um ângulo alpha ll 1 rad em relação à vertical, conforme a figura. Se a partícula é solta de uma posição inicial tal que o fio faça um ângulo beta << 1 rad com a vertical, de modo que beta>alpha, e em repouso, e a colisão entre ela e a parede for perfeitamente elástica, qual é o valor do período das pequenas oscilações do pêndulo em torno da posição de equilibrio? Sugestão: utilize a identidade trigonométrica arccos (-x)=arcsin (x)+pi2.
2 raizlg[2 arcsin (betaalpha)+pi2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente está lidando com o movimento de um pêndulo simples que bate numa parede inclinada. O conteúdo principal envolve oscilações de pequenos ângulos e algumas identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o período de oscilações e aplicar um pouco de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sistema. Temos um fio de comprimento $ l $ segurando uma partícula de massa $ m $. O fio está preso numa parede que está inclinada por um ângulo $ \alpha $ em relação à vertical. A partícula é solta de um ângulo $ \beta $ com a vertical, onde $ \beta > \alpha $ e ambos são pequenos ($ \ll 1 $ rad).

Passo 3

Quando a partícula oscila, ela vai bater na parede inclinada. Como a colisão é perfeitamente elástica, a energia é conservada, e a partícula vai refletir com o mesmo ângulo. Nosso objetivo é encontrar o período dessas oscilações.

Passo 4

Para pequenas oscilações, podemos usar a aproximação de que $ \sin(\theta) \approx \theta $ e $ \cos(\theta) \approx 1 $. Isso simplifica nossos cálculos, já que trabalharemos com ângulos pequenos.

Passo 5

O período de um pêndulo simples sem interferência de paredes é dado por:
T = 2pi raizlg
onde $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 6

No nosso caso, a parede inclinada altera o caminho da partícula. Cada vez que a partícula bate na parede, ela efetivamente muda a direção do movimento, mas a frequência de oscilações depende de como esse choque afeta o tempo total de um ciclo completo.

Passo 7

A distância angular entre as batidas na parede é relacionada ao ângulo $ \alpha $. Quando a partícula oscila de $ \beta $ até $ \alpha $, ela percorre um arco que podemos relacionar usando funções trigonométricas.

Passo 8

Vamos usar a identidade trigonométrica sugerida:
arccos(-x) = arcsin(x) + pi2
Isso vai nos ajudar a relacionar os ângulos e facilitar o cálculo do período.

Passo 9

Calculando o tempo para a partícula ir de $ \beta $ até $ \alpha $ e voltar, usamos integrais que levam em conta a variação do ângulo com o tempo. Após integrar e aplicar as aproximações, chegamos à expressão do período.

Passo 10

Finalmente, o período das pequenas oscilações do pêndulo em torno da posição de equilíbrio é dado por:
T = 2 raizlg [ 2 arcsin( betaalpha ) + pi2 ]

Resposta

O período das pequenas oscilações do pêndulo em torno da posição de equilíbrio é
T = 2 raizlg [ 2 arcsin( betaalpha ) + pi2 ]

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