Considere duas molas: Mola A; Mola B. Suponha que a Mola A seja mais rígida que a Mola B. Isso significa que kA>kB. Sendo assim, responda:

JUSTIFIQUE MATEMATICAMENTE SUA RESPOSTA!

a) Qual das duas molas poderá realizar maior trabalho se ambas (Mola A e Mola B) forem esticadas até o mesmo ponto (ou seja, as duas molas sofrem o mesmo deslocamento)?
b) Qual das duas molas poderá realizar maior trabalho se ambas (Mola A e Mola B) forem comprimidas pela mesma força F ?

OSB.: Considere que o sistema da mola está na horizontal e sem atrito algum.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem duas molas, a Mola A e a Mola B, onde a Mola A é mais rígida que a Mola B (ou seja, $ k_{\mathrm{A}} > k_{\mathrm{B}} $). O exercício pede para a gente descobrir qual mola realiza mais trabalho em duas situações diferentes: quando ambas são esticadas até o mesmo ponto e quando são comprimidas pela mesma força. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Lei de Hooke e trabalho realizado por uma mola.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Hooke, que diz que a força exercida por uma mola é proporcional ao deslocamento que ela sofre:
F = k cdot x
onde:
  • $ F $ é a força aplicada,
  • $ k $ é a constante da mola (rigidez),
  • $ x $ é o deslocamento da mola (alongamento ou compressão).

Passo 3

Agora, o trabalho realizado ao esticar ou comprimir uma mola é dado pela integral da força em relação ao deslocamento. Isso resulta na fórmula:
W = 12 k x^2
onde:
  • $ W $ é o trabalho realizado,
  • $ k $ é a constante da mola,
  • $ x $ é o deslocamento.

Passo 4

Vamos para a parte a) do exercício: Qual das duas molas poderá realizar maior trabalho se ambas forem esticadas até o mesmo ponto?
Aqui, o deslocamento $ x $ é igual para ambas as molas. Então, o trabalho realizado depende apenas da constante $ k $.

Passo 5

Como $ k_{\mathrm{A}} > k_{\mathrm{B}} $, substituindo na fórmula do trabalho:
kA > kB
WA = 12 kA x^2
Como $ k_{\mathrm{A}} $ é maior que $ k_{\mathrm{B}} $, $ W_{\mathrm{A}} $ será maior que $ W_{\mathrm{B}} $.

Passo 6

Agora, a parte b): Qual das duas molas poderá realizar maior trabalho se ambas forem comprimidas pela mesma força $ \vec{F} $?
Aqui, a força $ F $ é a mesma para ambas as molas. Vamos usar a Lei de Hooke para encontrar o deslocamento $ x $ de cada mola:
F
Então, substituindo na fórmula do trabalho:
F
Portanto, o trabalho realizado é inversamente proporcional à constante $ k $.

Passo 7

Como $ k_{\mathrm{A}} > k_{\mathrm{B}} $, substituindo na fórmula do trabalho:
kA > kB
WA = 12 cdot F^2kA
Como $ k_{\mathrm{A}} $ é maior que $ k_{\mathrm{B}} $, $ W_{\mathrm{A}} $ será menor que $ W_{\mathrm{B}} $.

Resposta

a) A Mola A realiza maior trabalho quando ambas são esticadas até o mesmo ponto.
b) A Mola B realiza maior trabalho quando ambas são comprimidas pela mesma força $ \vec{F} $.

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